La formulación de la Capelli la identidad es muy elemental; no tiene importantes aplicaciones en la teoría de invariantes y teoría de la representación, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Capelli%27s_identity
Para recordarle, se requiere de una notación. Vamos $x_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, ser los desplazamientos variables. Definir los operadores diferenciales en el espacio de funciones en $n\times n$ matrices: $$E_{ij}=\sum_{a=1}^n x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{aj}},\, 1\leq i,j\leq n.$$
El Capelli identidad de los estados que $$\det\left[\begin{array}{cccc} E_{11}+n-1&\dots&E_{1,n-1}&E_{1n}\\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ E_{n-1,1}&\dots&E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\ E_{n,1}&\dots&E_{n,n-1}&E_{n,n}+0 \end{array}\right]=\\\det\left[\begin{array}{ccc} x_{11}&\dots&x_{1n}\\ \dots&\dots&\dots\\ x_{n1}&\dots&x_{nn} \end{array} \right]\cdot \det\left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial x_{11}}&\dots&\frac{\partial}{\partial x_{1n}}\\ \dots&\dots&\dots&\\ \frac{\partial}{\partial x_{n1}}&\dots&\frac{\partial}{\partial x_{nn}} \end{array}\right]. $$
Tenga en cuenta que en el lado derecho de la igualdad de las dos matrices tienen desplazamientos de entradas, mientras que en el lado izquierdo de la entrada no conmutan. Por lo tanto, uno tiene que ser cuidadoso para definir el determinante. La convención para el determinante de tales matrices se $$\det(a_{ij})=\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)},$$ donde el orden de los términos es importante.
Este orden de los términos en que el factor determinante es el más misterioso para mí. ¿Hay alguna razón para ello? ¿Qué sucede si uno escoge a algunos otros pedidos de términos: el Capelli identidad de ser modificado de alguna manera o no va a trabajar?
No son más recientes que las generalizaciones de la Capelli identidad, véase, por ejemplo, el enlace de arriba a la Wikipedia. Sin embargo, lamentablemente no aclarar a mí la original Capelli identidad, pero en lugar de usarlo como inspiración básica de extensiones en el futuro (puede ser que me haya perdido algo).
La ACTUALIZACIÓN. Hasta ahora, la mayoría de enfoque conceptual de la Capelli identidad fui capaz de encontrar en la literatura es debido a la I. Gelfand y V. Retakh, Funktsional. Anal. yo Prilozhen. 25 (1991), no. 2, 13--25 (Sección 3.4). Este es su primer papel en su teoría general de la no-conmutativa determinantes. Ellos lo usan para reescribir la Capelli identidad en su idioma. Yo no he estudiado su prueba en detalle, pero al parecer no utilice este extraño y aparentemente arbitraria definición de det como una suma sobre todos los permutación de condiciones prescritas de pedidos. Todavía tengo que entiende lo difícil y lo natural es pasar de su lengua a la clásica.
