Deje $d(a,b) = 1 - \frac{2\gcd(a,b)^3}{ab(a+b)}$ ser una métrica en números naturales sin $0$.
El espacio métrico $X = \{x_0,x_1,\cdots,x_n\},n>2$ es isométrica integrable en $\mathbb{R}^n$ si y sólo si la matriz: $$M(x_0,x_1,\cdots,x_n) = (1/2 (d(x_0,x_i)^2+d(x_0,x_j)^2-d(x_i,x_j)^2))_{1 \le i,j \le n}$$ es positivo semidefinite.
Así que mi pregunta es:
Es la matriz anterior para $d$ como anteriormente positivo semidefinite para todos opciones de $x_i \in \mathbb{N}$? (Tal vez es posible demostrar esto mediante cuadrática formularios y luego transformarlo a $\sum_{i} a_{ii} y_i^2$ muestran a continuación que $a_{ii}\ge 0$?
Si es así, entonces este sería uno de los que permitirán realizar la geometría euclidiana de los números naturales. Por ejemplo, para tres (pares distintos puntos / números naturales tendríamos:
1) en un triángulo
2) ley de los senos
3) la ley de los cosenos
4) Todos los demás teoremas sobre triángulos
A continuación, en el límite de tres números consecutivos / los primos de construir un triángulo equilátero de lado de longitud $1$. Por lo tanto, uno podría imaginar que los números primos ("en el límite") como un infinito dimensional simplex, que sería una cosa graciosa de pensar.
Gracias por tu ayuda.
Relacionadas con la pregunta: https://math.stackexchange.com/questions/3385102/is-this-metric-matrix-positive-semidefinite
Ver Teorema 2.4 en https://books.google.de/books?id=7_DuCAAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=de&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false para isométricamente la incorporación de la $(\mathbb{N},d)$ en un espacio de Hilbert.
Editar: He aquí algunos de Sage código en caso de que uno quiere comprobar este numéricamente para algunos ejemplos:
def dABC(a,b):
"""ABC"""
return 1- 2*gcd(a,b)**3/(a*b*(a+b))
def MM(xx,d=dABC):
N = len(xx)
return matrix([[1/2*(d(xx[0],xx[i])**2+d(xx[0],xx[j])**2-d(xx[i],xx[j])**2) for i in range(1,N)] for j in range(1,N)])
def skp(a,b,d=dABC):
return 1/2*(d(a,1)**2+d(b,1)**2-d(a,b)**2)
def schur(M):
from scipy.linalg import schur
import numpy as np
M_np = np.matrix(M,dtype='float64')
A,B = schur(M_np,output="complex")
return (matrix(np.asmatrix(A)),matrix(np.asmatrix(B)))
def createEmbedding(rr):
M = MM(rr)
n = len(rr)+1
A,B = schur(M)
E = diagonal_matrix([sqrt(x) for x in A.diagonal()])
X = B*E
ee = [ matrix([[i==j] for i in range(1,n-1)],ring=QQ) for j in range(1,n-1)]
#print ee
xx = [ X.transpose()*ee[i] for i in range(n-2)]
return xx
N = 20
for i in primes(N):
for j in primes(i+1,N):
for k in primes(j+1,N):
a = dABC(i,j)
b = dABC(j,k)
c = dABC(k,i)
s = 1/2*(a+b+c)
area = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)).n()
alpha = pi.n()-arccos((skp(j,k)-skp(j,i)-skp(k,k)+skp(k,i))/(b*c))
beta = pi.n()-arccos((skp(j,i)-skp(k,j)-skp(i,i)+skp(i,k))/(a*c))
gamma = pi.n()-arccos((skp(j,k)-skp(k,i)-skp(j,j)+skp(j,i))/(b*a))
print i,j,k,"area:",area, "sum:",(alpha+gamma+beta).n(),pi.n()
print i,j,k,"sine law:",a/sin(alpha).n(),b/sin(beta).n(),c/sin(gamma).n()
print i,j,k,"lengths:", a.n(),b.n(),c.n()
print i,j,k,"cosine law: c", c**2.0,(a**2+b**2-2*a*b*cos(gamma)).n(),cos(gamma).n()
print i,j,k,"cosine law: b", b**2.0,(c**2+a**2-2*c*a*cos(beta)).n(),cos(beta).n()
print i,j,k,"cosine law: a", a**2.0,(c**2+b**2-2*c*b*cos(alpha)).n(),cos(alpha).n()
for n in range(2,101):
print n, MM(range(1,n)).is_positive_definite()
Segunda Edición: Sólo por curiosidad: Para $(a,b,c)=(1,2,2k+1)$, lo $c \ge 3$ es impar, se obtiene mediante la suma de los ángulos en un triángulo:
$$\alpha + \beta + \gamma = \pi$$
the following curious identity. For each odd $c \ge 3$ we have:
$$\operatorname{acos}(\frac{4 \, c^{5} + 28 \, c^{4} + 62 \, c^{3} + 2 \, c^{2} - 153 \, c - 135}{12 \, {\left(c + 2\right)}^{3} {\left(c + 1\right)} c} ) +$$ $$ \operatorname{acos}(\frac{14 \, c^{5} + 98 \, c^{4} + 226 \, c^{3} + 142 \, c^{2} - 135 \, c - 153}{18 \, {\left(c^{2} + 2 \, c - 1\right)} {\left(c + 2\right)}^{2} {\left(c + 1\right)}}) + $$ $$\operatorname{acos}(\frac{4 \, c^{6} + 24 \, c^{5} + 70 \, c^{4} + 156 \, c^{3} + 187 \, c^{2} - 18 \, c - 135}{12 \, {\left(c^{2} + 2 \, c - 1\right)} {\left(c + 2\right)} {\left(c + 1\right)}^{2} c}) = \pi$$
Third edit:
I think the main property which distinguishes $d$ for example from the Jaccard or other metrics is the proven property ( https://mathoverflow.net/a/342921/6671) :
For all $a \neq b, a\neq c$ we have:
$$d(a,b)+d(a,c) > 1$$
He probado otras métricas con esta propiedad y que también parecen embedd en el Espacio Euclidiano. Por otro lado métricas que no tienen esta propiedad no parecen embedd. Así que creo que este es el punto a ser tomado en consideración.
Si alguien tiene una idea de cómo explotar esta propiedad que sería muy bonito!
