Según Wikipedia: "En matemáticas, el principio de homotopía (o principio h) es una forma muy general de resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y, en general, relaciones diferenciales parciales (PDR)".
Me gustaría saber si el principio h y la teoría de las "Relaciones diferenciales parciales" de M. Gromov es una herramienta útil en el campo de las PDE no lineales.
¿Qué tipo de problemas se pueden atacar con el principio h?
¿Qué tipo de resultados se pueden obtener?
Me gustaría saber si el h-principio y la teoría de M. Gromov del "Diferencial Parcial de las Relaciones" es una herramienta útil en el campo de la no lineal del PDE.
Útil es un pariente de la palabra.
¿Qué tipo de problemas pueden ser atacados por el uso de h-principio? Qué tipo de resultados se pueden obtener?
Esto es más fácil de responder. Aquí está mi ejemplo favorito de un h-principio debido a Gromov y Lees, de forma independiente. (Puedo recomendar Lees el papel de la brevedad (cuando pesaba en contra de Gromov del libro). Por desgracia, el único lugar que conozco donde está disponible es en Duque de Matemáticas de Diario y por lo tanto no es libre).
Definición: Una inmersión $f: L\to\mathbf{C}^n$ de los cerrados de la $n$-colector se llama de Lagrange si $f^*\omega=0$ donde $\omega$ es el estándar simpléctica 2-formulario de $\sum_{i=1}^ndx_i\wedge dy_i$.
La condición de que la inmersión sea de Lagrange es un (muy flexible) no lineal de la PDE. Flexibilidad aquí significa más o menos que hay muchas soluciones (por ejemplo, si usted toma cualquier forma compacta compatible la función $H$ a $\mathbf{C}^n$ se puede utilizar para construir un campo de vectores Hamiltoniano $X_H$ a $\mathbf{C}^n$ satisfacción $\omega(X_H,V)=dH(V)$ cualquier $V$ y empujando $f$ usando el flujo de un campo vectorial le dará más Lagrangians). Más pertinentemente, la flexibilidad significa que de Lagrange inmersiones satisfacer el h-principio...
Uno podría preguntar, "¿Cómo funciona el espacio de Lagrange inmersiones sentarse en el interior del espacio de todos los lisas inmersiones?", pero esa sería la pregunta equivocada porque una de Lagrange de inmersión tiene un poco más de datos que sólo el subyacente suave inmersión. Es decir, un Lagrangiano de inmersión le da un "Lagrangiano de Gauss mapa", que envía un punto para el Lagrangiano de la tangente del espacio considerado como un subespacio lineal en $\mathbf{C}^n$.
Uno podría preguntar "¿Cómo funciona el espacio de Lagrange inmersiones sentarse en el interior del espacio de todos los lisas inmersiones equipado con un resumen de Lagrange de Gauss mapa?". Por abstracto de Lagrange de Gauss mapa, quiero decir que no es un mapa de bultos $F:TL\to T\mathbf{C}^n$ que vive más de $f$ y que envía tangente espacios de Lagrange tangente espacios. Tenga en cuenta que $F$ no tiene que ser $df$!
Ahora el h-principio dice que la respuesta a la segunda pregunta: el espacio de Lagrange inmersiones es una deformación de retirar de la espacio de suave inmersiones con un resumen de Lagrange de Gauss mapa!
Por otra parte, cualquier inmersión puede ser aproximada por una de Lagrange de inmersión que es arbitrariamente cerca de ella (en el sentido de que la vida arbitrariamente pequeño barrio, sin embargo la tangente espacios varían enormemente).
Moremoreover, el Lagrangiano de Gauss mapa resultante de la inmersión será homotópica a la abstracta Gauss mapa.
No todos los inmersión puede ser un mapa de Gauss, pero es una condición topológica para comprobar: es equivalente a la trivialidad de la complexified tangente paquete.
La misma inmersión puede tener diferentes (no homotópica) de Lagrange de Gauss mapas.
Aquí está un ejemplo sencillo. Tenga en cuenta que usted no tiene que comenzar con una inmersión, porque siempre se puede aproximar algo por inmersión. A fin de comenzar con el mapa enviar a $S^1$ al origen en $\mathbf{C}$. (Orientado) de Lagrange subespacios de $\mathbf{C}$ son sólo (orientado a) las líneas a través del origen.Las orientadas Lagrange Grassmannian es, por tanto, $S^1$ y cualquier mapa de $S^1\to S^1$ va a hacer como el Lagrangiano de Gauss mapa. Suponga que usted toma el trivial mapa de $S^1\to S^1$ enviar todo a un punto. Cerca de un Lagrangiano de inmersión cuyo mapa de Gauss es homotópica a este es el de la figura 8 de la inmersión. Si en lugar de tomar el grado 1 mapa de $S^1\to S^1$, a continuación, cerca de un Lagrangiano de inmersión sería la inclusión de un pequeño círculo centrado en 0. Si te has encontrado antes, el grado de este mapa de Gauss es (la mitad) de la mínima Maslov número. En las dimensiones superiores hay varios cohomological/homotópica Maslov invariantes porque el espacio de Lagrange subespacios es más complicado (que es el espacio homogéneo $U(n)/O(n)$), pero el más importante es el análogo de esta.
Por lo que el h-principio ofrece una enorme variedad de soluciones para su no lineal de la PDE y dice algo acerca de lo que puede parecer.
Esto se hace aún más útil por el hecho de que un genérico de Lagrange inmersión en el peor de puntos dobles y uno puede cirugía de estas el doble de puntos para obtener incrustado de Lagrange submanifolds, que son y han sido durante mucho tiempo una hermosa y misteriosa clase de objetos. Lo que es más misterioso acerca de ellos es que no satisfacen el h-principio, así que no sabemos cómo construir/clasificar. De hecho, hay ejemplos debido a Luttinger de suavidad incrustado tori en $\mathbf{C}^2$ que no son isotópicas para Lagrangiano de tori.
Se le preguntó acerca de la $h$-principio, pero voy a decir algo acerca de la convexo sino la integración.
Aquí está una encuesta realizada por DeLellis y Szekelyhidi acerca de las instancias de la "h-Principio" donde convexa de integración se utiliza para construir una baja regularidad de las soluciones a muchas de las ecuaciones de la mecánica de fluidos:
http://arxiv.org/abs/1111.2700
Estos resultados analíticos, sin embargo, son diferentes en sabor a lo que se suele llamar la $h$-principio de la topología y la geometría. En la topología de un ejemplo no trivial de la $h$-principio podría decir algo como "usted puede invertir la esfera de $S^2 \subseteq {\mathbb R}^3$ a través de una familia normal de inmersiones"; lo que hace es no trivial es que podría haber sido un topológico obstrucción a hacerlo (por ejemplo, usted no puede invertir $S^1 \subseteq {\mathbb R}^2$ debido a la inclusión del mapa de $i$ e $-i$ tienen diferentes grados). En estos resultados analíticos, usted no es exactamente interesado en homotopies.
Puede utilizar el método de convexo de integración (al menos, básicamente el mismo tipo de convexidad argumento -- Gromov mismo prefiere no llamar a este convexa de integración) para construir salvaje soluciones a los inhibidores de la PDE. Por ejemplo, no están delimitadas las soluciones a incompresible de Euler que se encuentran en el ámbito de la energía y puede tener cualquier prescrito densidad de energía $\frac{1}{2} |v|^2(x,t)$ (en concreto, pueden ser compacta, apoyado en el espacio y el tiempo). Esto es un poco chocante porque lo suficientemente regular soluciones a Euler conservar la energía. El hecho de que la debilidad de la necesidad de soluciones no conservar la energía está ligada a las ideas sobre la teoría de la turbulencia, la cual es la principal motivación de todos estos estudios.
Si usted lee Springer o Gromov usted no puede reconocer de inmediato la similiarities entre el análisis convexo de la integración y de la topología/geometría de la versión (por ejemplo, a veces Baire categoría de argumentos se utilizan en el análisis para simplificar los argumentos técnicos, a veces a expensas de cierta regularidad en la solución). Pero los argumentos de manera paralela Nash prueba de que el corto mapas se puede aproximar por $C^1$ isométrica incrustaciones, que es donde la historia de convexo integración comienza. Los desarrollos más recientes en relación isométrica incrustaciones se pueden encontrar en las referencias a la encuesta vinculado anteriormente. Uno de los principales desafío en materia tanto de Euler y el isométrico de la incrustación problema es encontrar el grado de regularidad en la que hay una transición de la flexibilidad a la rigidez.
Anterior a la evolución de la mecánica de fluidos, convexo integración también fue utilizado por Kirchheim, Muller y Sverak para exhibir elíptica sistemas procedentes de Euler Lagrange ecuaciones con soluciones de Lipschitz, pero en ningún $C^1$ -- esta flexibilidad resultado contrasta el resultado de Evans, que minimizers de la misma clase de funcionales son lisas fuera de un conjunto cerrado de medida de 0. También hay muchas investigaciones en el cálculo de variaciones ligadas a la estabilidad de inclusiones diferenciales $\nabla u \in K$, especialmente con respecto a cómo se plantean en la teoría matemática de los materiales. Por ejemplo, James y el Balón se presentó la idea de que si $u : \Omega \subseteq {\mathbb R}^3 \to {\mathbb R}^3$ es la configuración de un cristal, su gradiente de deformación $\nabla u$ minimiza la energía libre de $\int_\Omega W(\nabla u) dx$ tomando valores pointwise en el conjunto $K$ de los puntos críticos de $W$. Muller del libro "Variacional Modelos de Microestructuras y las Transiciones de Fase" tiene más información sobre este tema (por ejemplo, sobre cómo se puede explicar microestructuras como los patrones que están "tratando de minimizar un funcional), pero creo que este es un poco más distante de la pregunta original. La relevancia es sólo que convexos integración puede ser utilizado para producir salvaje soluciones a $\nabla u \in K$; pero aquí $K$ incluso podría ser un conjunto finito, y $u$ es sólo de Lipschitz, así que es bastante diferente de la configuración topológica.
Queridos Pawel,
El H-principio es una técnica mediante la cual se resuelven las ecuaciones diferenciales y las desigualdades por primera definición de un espacio de pre-soluciones y, a continuación, mostrando que cada pre-solución puede ser deformado a una solución. La existencia de pre-soluciones es por lo general un problema topológico y para mostrar que la ecuación diferencial/satisface la desigualdad de h-principio es otro asunto (Gromov del libro introduce algo así como cuatro técnicas generales para hacer esto).
Para definir pre-soluciones (estoy usando este término para explicar las cosas) se necesita el idioma de jet espacios. Por ejemplo, supongamos que desea buscar en el laplaciano en el plano. Considerar el espacio de $2$ chorros, donde cada punto es el de la clásica denotado por $(x,y,z,q,p,r,s,t)$. El $2$-jet de una función de $u$ es $$(x,y) \mapsto (x,y,u(x,y),\partial_xu(x,y),\partial_yu(x,y),\partial^2_{xx}u(x,y), \partial^2_{xy}u(x,y), \partial^2_{yy}u(x,y)) $$
Armónico de las funciones son funciones cuyas $2$-los aviones se encuentran dentro de la submanifold $r + t = 0$ dentro del espacio de $2$-jets. En este caso, la pre-soluciones que he estado hablando acerca de estaría dado por los mapas de la forma $$ (x,y) \mapsto (x,y,u(x,y),q(x,y),p(x,y),r(x,y),s(x,y),t(x,y)) $$ tal que $r(x,y) + t(x,y) = 0$. Lo que falta es que $q(x,y)$ no es la derivada parcial de $u$ con respecto al $x$ y así sucesivamente: el mapa (más precisamente, en esta sección de la $2$-jet paquete) no es necesariamente "holonomic" en Gromov de la terminología.
Gromov increíble idea es que para los lotes y lotes de ecuaciones diferenciales y de las desigualdades en la geometría de cualquier pre-solución puede ser deformado a una solución. Por desgracia, el método no parece ser muy útil en la física matemática, aunque creo que algunas personas de la elasticidad han utilizado para construir débil soluciones a algunos problemas variacionales.
Siempre he querido utilizar este método, pero no hubo suerte, pero aún así ...
Un lugar para h-principios, y donde Pde es jet paquetes. (Parece ser que hay una MathOverflow pregunta sobre ecuaciones en derivadas parciales y jet haces, aquí). Por ejemplo, considere el 1 de chorro de espacio de los mapas de $\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R$. Ese es el espacio de diferenciables mapas de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R$, junto con un posible primer derivados de los mapas, y de esta forma un paquete de más de $\mathbb R^n$ con fibra de $\mathbb R\times\mathbb R^n$ (la segunda copia de $\mathbb R^n$ es el espacio de la tangente). Así que un determinado mapa de $f: \mathbb R^n\rightarrow\mathbb R$ y su derivado $Df$ juntos forman una sección de un jet paquete. Pero una sección general es cualquier mapa de $f$ junto con una familia de homomorphisms $T_x\mathbb R^n\rightarrow T_{f(x)}\mathbb R$ cubriendo $f$. Las secciones que son en realidad de la forma $(f, Df)$ son llamados holonomic.
Para hacer una $h$-principio en esta configuración, puede solicitar primero una pregunta a todos los jet mapas, y luego preguntar si holonomic existen soluciones. La ventaja de esto es que el paquete de homomorphisms han Gauss mapas de clasificación de los espacios, así que usted puede utilizar topología algebraica y homotopy teoría para responder a la existencia de las preguntas. Por ejemplo, dado un simpléctica colector ($M, \omega$) de la dimensión de $2n$ no es el espacio $\Lambda_n$ de %de $n$- planos en $TM$ que son de Lagrange. Para preguntar acerca de Lagrange incrustaciones, que le pregunte does an $n$-manifold $L$ admit an embedding into $M$ such that $TL\subset\Lambda_n$?'' What a successful $h$-principle does is to say, essentially,, si se puede resolver el diferencial de la condición de $TL\subset\Lambda_n$, entonces usted puede conseguir a un mapa cuyo derivado hace esto."
Por desgracia, $h$-principios de trabajo mejor para condiciones abiertas. La condición de $f^*\omega=0$ es un estado cerrado, es decir, el espacio de Lagrange de aviones es cerrado en $TM$. Un estado abierto puede ser hecho en su lugar: dado $M$, encontramos que casi un estructura compleja $J$ tal que $\omega(v, Jv)>0$. A continuación, considere el espacio de todas totalmente real $n$-planos de $TM$: todos los planos que no contienen ningún tipo de complejo. Que incluye todos los planos de Lagrange, y $h$-principios para esto no existen. Por ejemplo, para una superficie cerrada $S$ incrustado en $\mathbb C^2$, obtenemos que $TS$ es isomorfo a la normal paquete de $S$, y (con algunos problemas) todo el paquete de la teoría funciona el requisito de que los $\chi(S)=0$ si $S$ es orientable, y $\chi(S)=0$ mod 4 si no. Ejemplos de tales superficies incrustado como Lagrange submanifolds de $\mathbb C^2$ existen /excepto/ de la botella de Klein: es conocido que no Lagrange botella Klein existe en $\mathbb C^2$, pero creo que la prueba de la existencia de un hecho totalmente real Klein botella de vino a partir de un $h$-principio.
Así, un PDE, siendo una ecuación, es generalmente un estado cerrado. Un parcial de relación diferencial pueden ser abiertos, tales como `la derivada mapa nunca cae por debajo del máximo rango" (lo que hace un nonsingular de inmersión). Que es donde $h$-principios que están en su más poderosa: el estudio de las singularidades de suave mapas entre los colectores.
Lo siento, este es sólo el comienzo de una respuesta, pero también recomiendo Eliashberg y Gromov del libro. En particular, Gromov tiene un teorema a partir de 1967 que, dado un haz de fibras $E\rightarrow M$ ($M$ un colector, no cerrado) con una acción de Diff $M$ sobre el total de espacio (como un chorro de paquete), y una relación $R$, que es abierto y Diff $M$ invariante, entonces un $h$-principio tiene por $R$. Y ejemplos de las singularidades de los mapas y cómo solucionarlos de ello se derivan.
David de la Primavera del libro Convexa de la Integración de la Teoría: las Soluciones a la $h$-principio de la geometría y la topología tiene un capítulo que trata específicamente de los no-lineal de ecuaciones en derivadas parciales (Capítulo 9). El resultado de todo esto es que convexos de integración, de un método particular de la prueba de la $h$-principio desarrollado por Gromov de las primeras ideas de Nash, de hecho, puede ser usado para demostrar algunos teoremas de existencia para los sistemas no lineales de ecuaciones en derivadas parciales. Sin embargo, estos sistemas tienen que cumplir algunas condiciones que, creo, excluir lineal e incluso quasilinear sistemas, pero permitir que algunos no-lineales. Me temo que no entiendo estas condiciones lo suficientemente bien como para reproducirlos aquí. Por favor, obtener una bodega de el libro para obtener más instrucciones precisas de estos resultados.
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