Hay una diferencia importante, relevante para la pregunta original, entre los dos tipos de $p$ -las integrales radicales mencionadas por Kevin en sus comentarios. Como veo frecuentes confusiones en este tema, pensé en comentarlo.
Lo "habitual $p$ -Las integrales adicas, como se puede ver, por ejemplo, en la tesis de Tate sobre las funciones L o en la teoría adica de las formas automórficas, son volumen integrales, con respecto a una medida, típicamente en algún grupo. Este tipo de integral de volumen también puede definirse fácilmente en variedades arbitrarias, y se pueden ver muchas en el libro de Weil sobre los números de Tamagawa, o en artículos sobre integración motivacional. La integración de Coleman, por otro lado, es una $p$ -análogo de integrales de línea y surge de forma natural al discutir la holonomía de los haces vectoriales con conexión en una variedad sobre un $p$ -dado (a menudo interpretado como isocristales). Por tanto, deberían ser las cantidades adecuadas para relacionarlas con una fórmula de Cauchy. Sin embargo, por desgracia (y por suerte), no funciona. La razón es que la integración de Coleman es una integral de línea a lo largo de una ruta canónica entre dos puntos de una variedad sobre el $p$ -adics. Así que hay una holonomía canónica en la teoría, al menos si se quiere calcular para un haz con conexión unipotente, es decir, que tenga una forma de conexión estrictamente triangular superior. Aquí se utiliza una misteriosa estructura "cristalina" en el espacio de los caminos, por la que hay un único camino invariante bajo la acción de Frobenius. La noción de camino, por cierto, utiliza el formalismo tannakiano en este contexto. Para una visión muy rápida de este enfoque, se puede consultar la sección 2 de este documento: http://www.ucl.ac.uk/~ucahmki/siegelinv.pdf
El documento de Breuil vinculado a la respuesta de Chandan debería proporcionar una visión más sistemática.
De todos modos, debido a los caminos canónicos en la teoría de Coleman, no puede haber holonomía alrededor de un bucle, y por lo tanto, no hay fórmula de Cauchy. Berkovich me dijo hace bastantes años que tiene una teoría de integrales de línea en espacios de Berkovich que dependen de la trayectoria de forma interesante, pero nunca lo he investigado.
Añadido: Me doy cuenta de que no he mencionado más arriba la conexión entre la holonomía y la integración habitual de una forma única $A$ . Esto se consigue considerando la conexión $$d+\begin{bmatrix}0& A; \\ 0& 0\end{bmatrix}$$
en el haz trivial de rango dos. Una visión de la integración de Coleman es que la holonomía $H_a^b$ de $a$ a $b$ se define primero. Y luego, la integral ingenua se define mediante la fórmula $$H_a^b=\begin{bmatrix}1& \int_a^bA ;\\ 0& 1\end{bmatrix}$$
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Wood, el semestre pasado di una charla sobre cosas similares. Empecé con el excelente libro de Silverman "Arithmetic of dynamical systems" y luego salté a la teoría del potencial de Baker sobre los espacios de Berkovich para mostrar la existencia de algún tipo de medida de Lyubich. También hay muchos artículos sobre el análisis funcional p-ádico y deben utilizar la teoría de la medida.
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Hay varias maneras de interpretar esta pregunta; sin embargo, quizá el autor no quiera precisar la pregunta, porque dejarla vaga puede maximizar la cantidad de respuestas que obtendrá. Hay una medida de Haar perfectamente buena en $\mathbf{Q}_p$ y así se puede hacer una integración clásica sobre esto, e integrar $L^2$ funciones, etc. Pero $\mathbf{C}_p$ no es localmente compacto, por lo que hay problemas para hacerlo. También existe la integración de Coleman, que es mucho más técnica y se basa en el "levantamiento de Frobenius"; véase un artículo de Coleman de los años 80 llamado algo así como "integración p-ádica".
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Usando la medida de Haar podemos hacer integración en números p adic. Pero sólo de funciones de valor complejo o real y no de funciones que alcancen valores p-ádicos en sí mismas. ¿No es así? Pero esto lo he excluido explícitamente.