La lectura del libro Schaum del Contorno de la Ingeniería Mecánica: de la Estática me encontré con algo que no tiene ningún sentido para mí teniendo en cuenta el tema de cifras significativas:
He buscado y vio que prácticamente lo mismo que se dice en otro libro (Mecánica de los Fluidos Desmitificado):
Entonces, mi pregunta es: ¿por Qué si el primer dígito en una respuesta es 1, no cuenta como una figura significativa?
Cifras significativas son una forma abreviada para expresar la precisión con que se conoce a una serie. Por ejemplo, si un número tiene dos cifras significativas, entonces usted sabe que su valor de aproximadamente $1\%$.
Digo aproximadamente, porque depende del número. Por ejemplo, si el informe de $$L = 89 \, \text{cm}$$ entonces esto implica más o menos que usted sabe que es entre $88.5$ e $89.5$ cm. Es decir, usted sabe que su valor a una parte en $89$, que es aproximadamente a $1\%$.
Sin embargo, este se vuelve menos precisa, el más pequeño que el primer dígito es. Por ejemplo, para $$L = 34 \, \text{cm}$$ sólo conocemos una parte en $34$, que es acerca de $3\%$. Y en el caso extremo $$L = 11 \, \text{cm}$$ sólo conocemos una parte en $11$, que es acerca de $10\%$! Así que si el primer dígito es un $1$, la relativa incertidumbre de su cantidad es en realidad mucho más altos que ingenuamente contar las importantes cifras sugieren. De hecho, se trata de la misma como sería de esperar si había menos una cifra significativa. Por esa razón, $11$ tiene "una" cifra significativa.
Sí, esta norma es arbitraria, y no resuelve totalmente el problema. (Ahora en lugar de tener un corte abrupto entre $L = 9$ cm y $L = 10$ cm, tiene un corte abrupto entre $L = 19$ cm y $L = 20$ cm.) Pero las cifras significativas son una contabilidad de la herramienta, no es algo que realmente "existe". Están definidos sólo por lo que son útiles para una rápida estimaciones. En la física, al menos, cuando empezamos discutiendo sobre este nivel de detalle, que acaba de abandonar cifras significativas completamente y hacer buen análisis de errores desde el principio.
Esto no es una regla real. Y como algunas personas señalan en los comentarios, ni siquiera se menciona en el artículo de la Wikipedia en dígitos significativos. La regla se aplica a $0$, no $1$.
Simple contra-ejemplo: $10$. Serían los autores afirman que este número no tiene cifras significativas?
Usted puede verificar esto haciendo una búsqueda por "sig fig contador." Todos ellos deben decirle que el número en su pregunta tiene 4 cifras significativas.
Como otros nota, esta condición de frontera es claramente arbitraria. Pero debe ser consistente a través de la literatura, o de lo contrario la confusión abunda cuando se trabaja con los demás. Así que yo diría ignorar la regla.
Truncar números con cierta precisión es completamente arbitrario. No hay razón para no hacerlo más arbitrario.
Parece que a alguien no le gustó el paso de precisión entre 9.99 y 10.0, por lo que lo movieron a entre 19.99 y 20.0.
En cualquier campo donde los resultados se agrupen alrededor de una potencia de 10, hacer esto puede ser beneficioso.
Es el Experimento de Tiempo!
(Yo estaba empezando a ver los dos puntos de vista sobre si a la caída de la 1, y tenía curiosidad por ver si había algún objetivo forma de abordar el problema... así que pensé que podría ser una buena oportunidad para un experimento. Para La Ciencia!)
Hipótesis:los Dígitos Significativos son una manera de significar la precisión de un número cualquiera de la incertidumbre de la medición o como el resultado de los cálculos en una medición. Si se multiplican dos mediciones juntos, el resultado tiene el mismo número de dígitos significativos como el menor de los dos valores iniciales (por lo 3.8714 x 2.14 tiene tres dígitos total, no siete como que te dan de conectarlo a una calculadora.)
Que 'cálculo' parte es lo que me gustaría tomar ventaja de. Porque argumentando dígitos significativos en un número en el vacío es sólo semántica. Viendo cómo la precisión que se lleva adelante con operaciones reales da una verdadera predicción comprobable. (En otras palabras, esto debería eliminar cualquier tipo de 'corte' de la cuestión. Si dos números tienen X dígitos significativos, entonces la multiplicación de ellos debe tener una precisión de aproximadamente X dígitos significativos - y la validez de la manera de determinar lo que es un dígito significativo debe traducir en consecuencia.)
Experimental De Diseño
Generar dos de alta precisión, Benford compatible con coeficientes (no estoy realmente seguro Benford importa en este experimento, pero me di cuenta de que no debería omitir cualquiera de los posibles factores de complicación - y si estamos hablando de la física, nuestras mediciones se deben caber la Ley de Benford.) Realizar una operación como la Multiplicación por ellos. Entonces, ronda los mismos coeficientes de 4 dígitos después de la coma decimal, y realizar la misma multiplicación de los valores redondeados. Finalmente, para comprobar cómo muchos de los dígitos de los dos valores resultantes tienen en común.
Aka, verificar que el impreciso 'medición' versión compara la real, oculto, de alta precisión de cálculo.
Ahora, en un mundo ideal, el valor sería de 5 de coincidencia (significativo) dígitos. Sin embargo, dado que sólo estamos cegando la comprobación de si los dígitos coinciden, vamos a tener algunos que coinciden por pura suerte.
Resultados Experimentales Para La Multiplicación
Digits Matching Where Result Doesn't Start With One
... and no input value starts with One:
5th digit matches 89.7%
6th matches 21.4%
... and one input value starts with One:
5th digit matches 53.7%
6th matches 5.57%
... and two input values start with One:
5th digit matches 85.2%
6th matches 11.1%
Digits Matching Where Result Starts With One:
... and no input value starts with One:
5th digit matches 99.9+%
6th matches 37.8%
... and one input value starts with One:
5th digit matches 99.9+%
6th matches 25.5%
... and two input values start with One:
5th digit matches 95.0%
6th matches 13.9%
Conclusiones Para La Multiplicación
En primer lugar, la multiplicación de dos números y terminando con un número que comienza con 1, usted probablemente debería contar el 1 como un dígito significativo. En otras palabras, si usted multiplica '4.245' x '3.743', y vienen con '15.889035', usted probablemente debería dejar en '15.89'. Si agrega un dígito más y lo llaman '15.889 uno', usted tiene un 38% de probabilidad de que el dígito final correcto... que probablemente no es lo suficientemente alta como para ser defendible a incluir.
Pero multiplicando donde una de las entradas comienza con 1, y se hace extraño. Multiplicar '1.2513' x '5.8353', y de manera realista, usted no tiene cinco cifras significativas en el resultado. Según el experimento, tienes cuatro dígitos... y un 54% de posibilidades de estar en lo correcto con la quinta valor. Así, si un 38% de probabilidad en el estado de la situación (la multiplicación de dos números y terminando con un valor que comienza con '1'), de conseguir un 'extra' dígito significativo no es aceptable, entonces es probablemente justo decir que el 54% de probabilidad en esta situación es también, probablemente, demasiado bajo para justificar la inclusión de la 5º dígito.
Así que usted puede estar tentado a decir "no tratar de un líder 1 tan importante como una entrada a un cálculo"..., salvo que multiplicar 1.$12.34(56)$ x 1.$12.34\pm 0.56$(dos números que comienzan con 1) le da un 85,2% de precisión en el quinto dígito - que es más o menos el mismo nivel de precisión donde ninguno de los tres números que comienzan con 1. Así que si del 8,83 x 8.85 debe tener tres dígitos significativos, por lo que debe 1.83 x 1.85.
Conclusión Final: Es en realidad un engañosamente difícil problema de encontrar una buena heurística. Especialmente porque hay una gran diferencia entre una medida de 1.045 que se alimenta a la entrada de un cálculo, y la 1.045 que sale como resultado de un cálculo. Lo que explica por qué hay varios métodos de manejo del líder 1. (Si yo fuera forzado a elegir una Heurística, sería: no contar el líder de '1' en ninguna de las mediciones realizadas, pero cuentan para la salida de cualquiera de los cálculos.)
Mantener un registro de "cifras significativas" es una heurística para indicar aproximadamente la precisión de un número. No es un sustituto para un verdadero análisis de incertidumbre, pero es lo suficientemente bueno para muchas personas y muchos fines. Cuando algunas personas se enfrentan a las limitaciones de cifras significativas que tiene suficiente fondo (o compañeros de trabajo con suficiente fondo) para cambiar a una más grave error de análisis. Cuando otras personas se enfrentan a esas mismas limitaciones, que tratar de "arreglar" el significado de los dígitos enfoque en la creación de nuevas reglas ad-hoc como este.
Supongamos que usted y yo, de manera independiente, analizando el mismo conjunto de datos. Cada uno de nosotros ha medido la misma cantidad a los dos cifras significativas: su resultado es de 0,48, y mi resultado es de 0,52. Desde una sana significativo-el análisis de la figura conserva uno menos significativo dígito cuyo valor es único en su mayoría digno de confianza, no está claro si las mediciones están de acuerdo o no, o que el nivel de desacuerdo es muy interesante y se podría acabar discutiendo cómo convertir eso en una de tres importantes-figura experimento, en el caso de que ambos hemos medido un valor "true" más cerca de 0.498.
Ahora imagina un universo diferente donde ambos nos hacemos el mismo experimento, pero una definición diferente en algún lugar significa que nuestros "resultados" son diferentes numéricamente por una exacta factor numérico de veinte años. La medición en este universo es de 9,6, y la mía es 10.4. Todavía hay una interesante tensión entre esos números. Pero si puedo contar el líder 1 como uno de mis dos dígito significativo s, I debe reportar el resultado como "10", lo que sugiere que es igualmente probable que sea "9" o "11." Si el informe de 9.6 y me informe de 10, la tensión entre nuestros resultados es mucho menos evidente. También parece que mi resultado es diez veces menos precisa que la tuya. No debería ser capaz de cambiar la precisión de un número por el doble o la mitad de ella.
Esa es la lógica para realizar el seguimiento de una "guardia dígitos" si un número pasa a caer en la parte inferior de un logarítmica de la década. (La Partícula de Datos Grupo mantiene una "guardia dígitos" si los dos primeros dígitos significativos son de entre 10 y 35.) Pero para explicar esto diciendo que "una de las principales 1 no es un dígito significativo," ya que su origen: es terriblemente confuso. Me gustaría encontrar un libro escrito por alguien más, y leer el autor cita aquí con algo de cautela.
@supercat me recuerda a un comentario que no es un compacto de la convención para la representación real de las incertidumbres que se ha vuelto popular en la literatura en las últimas dos décadas: uno escribe theuncertainty en los últimos dígitos entre paréntesis justo después del número. Por ejemplo, uno podría escribir $12.34(56)$ como una abreviación de $12.34\pm 0.56$. Este enfoque es de lo mejor en la precisión de las mediciones de los negocios, donde hay muchas cifras significativas. Por ejemplo, la corriente de Partículas de Grupo de Datos de referencia de los informes de la masa del electrón (en unidades de energía) como $0.510\ 998\ 950\ 00(15)\,\mathrm{ MeV}/c^2$, que es mucho más fácil de escribir y analizar de $0.510\ 998\ 950\ 00\,\mathrm{ MeV}/c^2 \pm 0.000\ 000\ 000\ 15 \,\mathrm{ MeV}/c^2$.
No he visto que se enfoque mucho en el material de presentación, los estudiantes, y se me ocurren un par de razones por qué. La "cifra significativa reglas" son, para la mayoría de la gente, la primera vez que se enteran de que la aritmética es algo que se puede hacer con números que no son exactos. Muchos de los estudiantes intelectualmente preparado para que la idea: de que está listo para escribir un 0,5 en lugar de 1/2, pero son vagas sobre si decimalize 1/7 0.1 o como 0.1428571429, porque el último es cómo se sale de la calculadora. Además, el uso de la notación de paréntesis, se debe tener cierta comprensión de cifras significativas ya. Para combinar mis ejemplos anteriores, la mayoría de las personas que no están en la precisión de las mediciones de negocios (donde la comprensión de la incertidumbre puede ser más difícil de entender el valor central) iba a escribir 12.3(6) en lugar de mantener la guardia dígitos en 12.34(56). Pero si se multiplica ese valor por veinte, se convertiría en 246.8(11.2). El registro es así, o como 247(11), o como $250\pm10$, vientos elevando las mismas cuestiones acerca de guardia de dígitos que se inició esta pregunta. Mientras que la ambigüedad se mueve desde el valor central a la incertidumbre, por lo que la apuesta para calcular mal son más bajos, explicando esto a una persona que es nueva la idea de cuidado de la imprecisión es una orden de alto.
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