¿Existe no trivial espacio (i.e no deformación retractarse en un punto) en $\mathbb R^n$ de manera tal que cualquier mapa continuo desde el espacio en sí mismo tiene un punto fijo. Yo muy sospechoso que el cuasi círculo en $\mathbb R^2$ es un ejemplo. Todavía no he escrito el (sucio) de la prueba. Pero en este caso todo su homotpy grupos son triviales. Así que si yo asumo mi espacio como un colector, entonces (PREGUNTA:) ¿este punto fijo propiedad de la fuerza que se convierta en un contráctiles del colector? He leído en algún lugar que no existe una contráctiles compacto colector de que no cumpla con este punto fijo de la propiedad. Así que ¿existe alguna no contráctiles del colector (compacto) donde esta propiedad sigue? O de lo contrario puede alguien por favor proporcionar un esquema de cómo probar que un colector contráctiles?
Respuestas
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Tomar el espacio de $\mathbb{CP}^2$. Su cohomology anillo está dado por $\mathbb{Z}[a]/a^3$ donde $a$ tiene el grado $2$. Un mapa de $f:\mathbb{CP}^2\rightarrow \mathbb{CP}^2$ induce un mapa en el segundo cohomology grupo con $f^*(a)=k a$ con $k\in \mathbb{Z}$. A partir de esto se puede calcular de la acción en la (co)homología en los otros grados. En el grado cero de la identidad y en el cuarto grado, está dada por la multiplicación de con $k^2$. A continuación, el número de Lefschetz de este mapa se ve $L(f)=k^2+k+1$. Este número nunca es cero. Un no-cero Lefschetz número implica un punto fijo por el Lefschetz Teorema de punto fijo.
Otro buen ejemplo es$\mathbb RP^{2n}$. Aquí hay una prueba simple ...
Si$f:\mathbb RP^{2n} \to \mathbb RP^{2n}$ es una función continua, mire la elevación del mapa$\bar{f} :S^{2n}\to S^{2n}$. Un punto fijo de$f$ es equivalente a un punto$x\in S^{2n}$ st$\bar{f}(x)=x \ or \ -x$. Si tal punto no existe, entonces podemos tener una homotopía entre Identidad y mapa antipodal a través de$H(x,t)=cos(t)x+sin(t)\bar{f}(x)$. [Este es un mapa bien definido de esfera a esfera]. Pero incluso para el mapa antipodal de esfera dimensional tiene grado$-1$. Eso es una contradicción.
