En todos los casos, hay seguramente no es cualquier método para completar la simplificación (es decir, con lo que una expresión canónica de la forma más simple). La simplificación debe tener dos propiedades importantes: debe ser algorítmico, y la simplificación de dos expresiones diferentes de la misma cosa, debe dar la misma forma simplificada. Si usted tiene una simplificación del método con estas propiedades, entonces se da un algoritmo para decidir si dos expresiones son equivalentes. Sin embargo, Richardson demostrado que no existe ningún algoritmo para decidir si dos expresiones cerradas definir la misma función. (Por supuesto, usted tiene que especificar lo que se considera "forma cerrada". Ver D. Richardson, Algunos Indecidible Problemas que Involucran Funciones Elementales de una Variable Real, Diario de la Lógica Simbólica 33 (1968), 514-520, http://www.jstor.org/stable/2271358.)
Por supuesto, la simplificación se hace fácil si usted da para arriba en estas propiedades. Si no se preocupan acerca de los algoritmos, acaba de elegir a un representante de cada clase de equivalencia de forma arbitraria y declarar simplificado. Si no te importa si simplificar expresiones equivalentes para el mismo resultado, entonces acaba de declarar todo lo que ya está simplificado.
Este argumento reglas a cabo sólo una noción general de la simplificación. Tiene sentido que, en muchos casos especiales, y como Joel David Hamkins observa en los comentarios, aún puede definir una noción de simplicidad, incluso si no se completa la simplificación del método.
Añadido en respuesta a los comentarios: Vamos a decir las cosas de forma más precisa. Deje que la clase $E$ de expresiones cerradas contienen $\log 2$, $\pi$, $e^x$, $\sin x$, y $|x|$, y estar cerrado bajo la suma, la resta, la multiplicación y la composición de funciones. Estas expresiones definen funciones continuas que son numéricamente computable (en el sentido de que uno puede algorítmicamente calcular arbitrariamente cerca de aproximaciones a sus valores en cualquier puntos). Convocatoria de expresiones $e_1$ e $e_2$ equivalente, si se define la misma función.
Richardson demostrado que no existe ningún algoritmo que puede probar si dos expresiones en $E$ son equivalentes. De ello se deduce inmediatamente que ningún algoritmo puede aportar elementos de $E$ en cualquier forma canónica. I. e., no hay ninguna función computable $f$ de $E$ a $E$ tal que $f(e_1)=f(e_2)$ fib $e_1$ e $e_2$ son equivalentes.
Además, uno no puede hacerlo en el sentido descrito en los comentarios: no hay función computable $f$ de $\mathbb{N} \times E$ a $E$ con la siguiente propiedad: $f(n,e)$ es siempre equivalente a $e$, y si $e_1$ e $e_2$ son equivalentes, entonces para todos lo suficientemente grande $n$ tenemos $f(n,e_1)=f(n,e_2)$ (por supuesto, cómo un gran $n$ tiene que ser puede depender de $e_1$ e $e_2$). Creo que de $n$ como describir lo duro que han tratado de simplificar su entrada, con la idea de que finalmente llegar a la canónica de forma más sencilla al $n$ es lo suficientemente grande, pero no se sabe cuando hemos llegado (por lo que siempre estarás a preguntarse si el aumento de $n$ llevaría a simplificaciones).
Esta observación requiere que otra prueba, pero no es difícil. Si $f$ existido, podría computably enumerar todos los equivalentes de los pares de $(e_1,e_2)$: para ello, el bucle a través de todos los triples $(e_1,e_2,n) \in E \times E \times \mathbb{N}$ y de salida $(e_1,e_2)$ siempre $f(n,e_1)=f(n,e_2)$. Sin embargo, es fácil computably enumerar los no equivalentes pares: el bucle a través de todas las expresiones $e_1$ e $e_2$, los números racionales $x$, y los números naturales $k$, y la salida de $(e_1,e_2)$ si numéricamente la computación de las funciones correspondientes a $x$ a dentro de error de menos de $1/k$ muestra que estas funciones se diferencian en la $x$. Todos no equivalentes pares se producen en esta lista, así que si podemos enumerar por separado todos los equivalentes de pares (con la magia de la simplificación de la función $f$), entonces podemos resolver la equivalencia problema al ver que la lista de $(e_1,e_2)$ activado en. Eso iría en contra de Richardson teorema, y, en consecuencia, $f$ no existe.
Lo que hace este complicado es que es tentador pensar que el equivalente de pares debe ser computably enumerable. No puedes escribir una lista de todas las expresiones equivalentes a $e$ mediante la manipulación de $e$ en todas las formas posibles? Richardson del teorema implica que no es posible (por ejemplo, la escuela secundaria álgebra manipulaciones son insuficientes para obtener todas las equivalencias, por lo que las clases de escuela secundaria completamente la impresión equivocada). Demostrar que dos funciones son diferentes es fácil, pero probando dos funciones de la misma no es, y no existe una manera de hacerlo.
