¿Estructuras exóticas diferenciables en R^4?

Question

Esto iba a ser un comentario para Estructuras diferenciables en R^3 pero pensé que sería mejor plantearlo como una pregunta separada.

Así, se menciona en la pregunta anterior que $\mathbb{R}^4$ tiene un número incontable de estructuras diferenciables (suaves). Esta es una afirmación que ciertamente he escuchado antes, y he mirado un poco la construcción de exóticas $\mathbb{R}^4$ s, pero es algo de lo que realmente no puedo decir que tenga una comprensión intuitiva.

Me parece bastante razonable que una variedad genérica pueda tener más de una estructura diferenciable, sólo por la definición; y de hecho, me resulta un poco sorprendente que las variedades tengan sólo una estructura diferenciable para la dimensión $d \le 3$ .

Pero es muy impar para mí que $\mathbb{R}^d$ tiene exactamente una estructura diferenciable, a menos que $d=4$ cuando tiene demasiados.

Ingenuamente, habría pensado que, como $\mathbb{R}^4 = \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^2$ sólo tiene una estructura diferenciable, no puede pasar mucho. Aunque, sabemos $\text{Diff}(M\times N)$ no puede descomponerse genéricamente en términos de $\text{Diff}(M)$ y $\text{Diff}(N)$ en general, no habría esperado que hubiera obstáculos para que esto sucediera en este caso.

También habría pensado, que como $\mathbb{R}^5$ sólo tiene una estructura diferenciable, y $\mathbb{R}^4$ es un submanifold de $\mathbb{R}^5$ y $\mathbb{R}^3$ es un submanifold de $\mathbb{R}^4$ con una sola estructura diferenciable, esto sería bastante restrictivo para las estructuras diferenciables $\mathbb{R}^4$ puede tener.

Aunque parece que esto sólo restringe que la estructura diferenciable "heredada" sea única, me sigue pareciendo impar que haya estructuras "no heredadas" en $d=4$ de $d=5$ y, de alguna manera, todas estas estructuras no inertes son idénticas en la submanifold $\mathbb{R}^3$ ¡!

De todos modos, ¿alguien puede dar una explicación intuitiva de por qué $\mathbb{R}^4$ está tan jodido en comparación con cualquier otra dimensión? Normalmente asociaría las estructuras diferenciables múltiples con algo topológicamente "malo" en el colector. ¿Hay algo topológicamente "malo" en $\mathbb{R}^4$ en comparación con cualquier otra dimensión? ¿O se trata de un problema geométrico de alguna manera?

Answer 1

Una vez escuché a Witten decir que la topología en 5 y más dimensiones se "linealiza". Lo que quería decir es que la topología geométrica de las variedades se reduce a la topología algebraica. Empezando por el truco de Whitney para anular las intersecciones de submanifolds en dimensión $d \ge 5$ , entonces se obtiene el Teorema del h-cobordismo la solución de la conjetura de Poincare y la teoría de la cirugía. Como resultado, cualquier variedad en altas dimensiones que sea lo suficientemente algebraica para $\mathbb{R}^d$ es homeomorfo o difeomorfo a $\mathbb{R}^d$ .

Por el trabajo de Freedman y otros utilizando mangos de Casson, hay una versión o alternativa al truco de Whitney en $d=4$ dimensiones, pero sólo en la categoría continua y no en la categoría lisa. De lo contrario, la topología geométrica no se "linealiza" en el sentido de Witten. Pero en $d \le 3$ dimensiones, la dimensión es demasiado baja para que la categoría suave se separe de la categoría continua, al menos para la cuestión de la clasificación de los colectores.

Lo que se tiene en 3 dimensiones son ejemplos como el Colector Whitehead que es contractible pero no homeomorfo a $\mathbb{R}^3$ . En 4 dimensiones en cambio obtienen variedades abiertas que son homeomorfas a $\mathbb{R}^4$ (porque son contraíbles No estoy seguro de si se necesitan otras condiciones y simplemente conectado en el infinito), pero no difeomorfo a $\mathbb{R}^4$ . Hay que estar en el umbral entre las bajas dimensiones y las altas dimensiones para que se produzca el fenómeno. Yo diría que estos exóticos $\mathbb{R}^4$ s no se parecen mucho a los estándares $\mathbb{R}^4$ sólo que resultan ser homeomórficos. El homeomorfismo tiene características fractales, al igual que el colector de Whitehead.

Mientras tanto, las 2 dimensiones son demasiado bajas para tener colectores no estándar contraíbles. En la categoría de lisos, el teorema de uniformización de Riemann demuestra que los manifolds lisos de 2 dimensiones son muy predecibles, o se puede obtener el mismo resultado en la categoría de PL con un ataque combinatorio directo a los grafos planares. Y como se ha mencionado, los colectores lisos, PL y topológicos no se separan en esta dimensión.

---

Además, respecto a su pregunta sobre los productos cartesianos: Obviamente, los famosos resultados implican que hay una fibración de la norma $\mathbb{R}^5$ por exótico $\mathbb{R}^4$ . La cruz del colector Whitehead $\mathbb{R}$ también es homeomorfo a $\mathbb{R}^4$ . (No sé si es difeomorfo.) Estas fibraciones también son fractales o tienen características fractales.

Answer 2

Esto empezó como un comentario en el post de Greg, pero mis comentarios se están alargando demasiado...

La condición topológica adicional que se necesita para que un 4manifold abierto contractible sea homeomorfo a $\mathbb{R}^4$ es que sea "simplemente conectado en el infinito" (esto es definitivamente necesario, y apostaría que es suficiente, aunque definitivamente no soy un experto en $4$ -topología de manifiesto). Esto excluye los interiores de las manifiestas contractibles con límite en una homología de 3 esferas. Por cierto, el resultado citado por Igor es un teorema profundo de Friedman.

Aquí hay algo más que te dejará boquiabierto. Realmente existen exóticos $\mathbb{R}^4$ 's $U$ que se incrustan como submanifolds abiertos de $\mathbb{R}^4$ (los llamados "pequeños" exóticos $\mathbb{R}^4$ 's). Por lo tanto, obtenemos que $U \times \mathbb{R}$ se incrusta como un submanifold abierto de $\mathbb{R}^5$ . Por el teorema de Stallings, $U \times \mathbb{R}$ es por tanto difeomorfo a $\mathbb{R}^5$ aunque $U$ sólo es homeomorfo a $\mathbb{R}^4$ .

Esto es en realidad un tipo de cosa muy común -- a menudo los ejemplos extraños se vuelven agradables cuando los "estabilizas", por ejemplo, cruzando con $\mathbb{R}$ o alguna otra operación relacionada.