Esta es una observación, junto con un esbozo de un posible caso de la construcción de (1) no implica (2) por $\mathbb{R}^3$.
De la observación. Quiero señalar un ejemplo de un conjunto cerrado $X \subset \mathbb{R}^2$ y la continuidad de una función inyectiva $f: X \rightarrow X$ tal que $f$ tiene la propiedad (1), pero no (2).
La construcción de este ejemplo, comenzar con la secuencia de puntos de $a_n = (n - 10^{\lfloor log_{10}{n} \rfloor}, 10^{- \lfloor log_{10}{n} \rfloor})$.
Informalmente: "filas" de los puntos de acercarse a la $x$-eje, donde el tamaño de las filas aumenta de forma exponencial (9, 90, 900, etc.), y su distancia a la $x$-eje disminuye de manera exponencial (1, 1/10, 1/100, etc.).
Deje $X = \{ a_1, a_2, a_3, ... \} \cup \{ (0,0), (1,0), (2,0), ... \}$
Definir $f$ por $f(a_n) = a_{n+1}$, e $f(x, 0) = (x + 1, 0)$.
Este sistema dinámico se rompe en dos partes: la traducción de la no-negativo entramado de puntos en la $x$-eje, y una órbita, $\{a_n\}$, que se acumula en el origen (y la posterior celosía puntos) en el crecimiento exponencial de los intervalos. En las filas de $\{a_n\}$, los puntos de cambio hacia la derecha hasta llegar al final de la fila, en cuyo caso "wrap around" para la primera posición, en la siguiente fila.
La función de $f$ es continua e inyectiva. Lo hace no tiene la propiedad (2), ya que si $K$ es una bola cerrada en torno al origen, contiene algunas de las $\{a_n\}$, cuya órbita se acumula en el origen y se cruzan $K$ infinitamente a menudo.
La función de $f$ no tienen la propiedad (1). Deje $K$ ser un conjunto compacto, y deje $M$ ser el máximo de $x$-coordenadas de cualquier punto en $K$. Deje $10^m$ ser el más pequeño de la potencia de diez mayor que $M$. A continuación,$f^{5 \cdot 10^m} (K) \cap K = \emptyset$. Para ver esto, observe que todos los puntos en las primeras filas de tamaño menor o igual a $10^m$ pasará a la fila de tamaño $9 \cdot 10^{m}$ y en esta fila se desplaza más de $10^m$ a la derecha de la $x$-eje, de modo que no encuentran en $K$. Puntos en otras filas también cambio lo suficientemente lejos a la derecha para que no lo golpeen $K$, pero sus filas son lo suficientemente larga para que no "wrap" para volver a la $x$-eje.
Notas y croquis de la solución
Volviendo al problema original, este ejemplo muestra que una prueba de que (1) implica (2) se tiene que utilizar algunos hechos acerca de $\mathbb{R}^d$, en lugar de sólo pura dinámica consideraciones.
También sugiere un camino para la construcción de un ejemplo en el que (1) tiene pero no (2) para un sistema dinámico en $\mathbb{R}^d$. Un boceto de un potencial de construcción podría ser algo como esto:
En primer lugar, sin duda podemos extender $f$ a un homeomorphism $g$ sobre todo $\mathbb{R}^2$. (Para el "ajuste" de una fila a la siguiente, imagino que hacer un bucle alrededor de la parte superior; no podría ser un repelente de punto fijo en algún lugar en el positivo $y$-eje). Por debajo de la $x$-eje, podemos establecer $g$ a ser una traducción de una unidad a la derecha.
Todas las extensiones puedo pensar, $g$ perderá la propiedad (1). Para salvar la situación, nos movemos a $\mathbb{R}^3$.
Deje $d(x, X)$ ser la distancia desde el punto de $x$ para el conjunto de $X$. Para $x \in \mathbb{R}^2$ e $z \in \mathbb{R}$, definir
$$\varphi(x, z) = (g(x), z - d(x, X))$$
En otras palabras, bajo la acción de $\varphi$ puntos se mueven constantemente hacia abajo, con la excepción de los puntos de mentir directamente encima o debajo de $X \times \{0\}$. Edit: fedja señala que un fuerte hacia abajo componente podría ser útil. (Para puntos cerca de $X$ se podría desplazar por $d(x, X)^{1/2}$ por ejemplo).
El mapa de $\varphi$ no tiene la propiedad (2), ya que es el mismo que $f$ restringido a $X \times \{0\}$. Por otro lado, con especial atención a la constante movimiento hacia abajo, lejos de la $X$, uno podría ser capaz de demostrar que para un compacto $K$, es decir, lo suficientemente alto $n$, itera $\varphi_n(K)$ sólo podía cruzan $K$ muy cerca de $X \times \{0\}$, y la propiedad (1) se mantenga por las mismas razones que en la construcción de $f$.
