¿Cuáles son algunos conceptos matemáticos que se crearon (prácticamente) desde cero y no tienen deuda con trabajos anteriores?

Question

Casi todos los conceptos matemáticos tienen antecedentes; se basan en conceptos previamente conocidos o están relacionados con ellos. Pero, ¿hay conceptos que no deben nada o casi nada a trabajos anteriores?

El único ejemplo que conozco es la teoría de conjuntos de Cantor. No se había hecho nada parecido a sus manipulaciones concretas de objetos infinitos reales.

Answer 1

Hay otro ejemplo en la Teoría de Conjuntos, que es el forzamiento de Paul Cohen. Por supuesto, el forzamiento tenía algunos vínculos con trabajos anteriores, pero la mayor parte era completamente nueva.

Answer 2

Me pregunto si la deducción de Euler de la infinitud de los primos a partir de la divergencia de la serie armónica o el trabajo de Riemann sobre la función zeta de Riemann serían ejemplos adecuados.

Answer 3

Esto sucedió cientos de veces en la física a lo largo del siglo XX, porque los físicos fueron entrenados específicamente para hacer matemáticas desde cero. La razón principal es que, en la época anterior a Internet, aprender la jerga especializada de cada subcampo requería demasiado tiempo, por lo que era más fácil volver a aprender el material.

El éxito temprano más significativo de este tipo de ignorancia voluntaria es probablemente el desarrollo de la relatividad especial a partir de la nada. La geometría de Minkowski de la relatividad es notable, porque si se interpretan las palabras "punto" y "línea" como es habitual, y la palabra "círculo" como una hipérbola unitaria con asíntotas de ángulos de 45 grados (el círculo unitario de la relatividad), satisface todos los axiomas explícitos de la geometría de Euclides, tal como se exponen en los elementos, incluido el axioma de las paralelas, pero no es euclidiana. La diferencia esencial es que los círculos no son curvas cerradas, por lo que fallan ciertas propiedades implícitas de interinidad. Hay puntos distintos que están a "distancia" cero entre sí, la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre más corta que uno de los lados, etc. Esto me parece sorprendente, por la cantidad de gente que ha considerado los modelos de geometría antes de Einstein (incluyendo todo el fuerte enfoque en la geometría no euclidiana durante el siglo anterior). Todos los peces gordos pasaron por alto la geometría de Minkowski.

Aparte del trabajo de Einstein, existen los siguientes desarrollos matemáticos de la física, todos ellos salidos de la nada matemática:

• La mecánica cuántica, en particular, la teoría de la relación de conmutación canónica [x,p]=i y su relación con los operadores de onda y los paseos aleatorios.
• La teoría de la distribución de Dirac (funciones delta): completó la noción de valor propio de un operador lineal para incluir los valores propios y las funciones propias del operador x en la mecánica cuántica.
• Los espinores de Majorana--- se debieron al descubrimiento de la ecuación de Dirac. La teoría de la representación de SO(p,q) depende ahora totalmente de las matrices de Dirac y de las condiciones de Majorana y Weyl.
• La teoría de las matrices aleatorias de Wigner. Esto fue completamente ab-initio, y ahora es una matemática muy activa.
• Localización de Anderson: esto también es una sorpresa matemática: las funciones propias de los potenciales aleatorios están localizadas en el espacio. La teoría resultante completa aún no se ha convertido en matemática, pero el artículo de Anderson es un argumento ab-initio (aunque no riguroso).
• Algoritmo de Metrópolis--- éste inauguró esencialmente los métodos de monte-carlo, y no conozco ningún trabajo anterior en el que se base.
• La integral de trayectoria de Feynman - se desarrolló dentro de las matemáticas como la integral de Wiener más o menos al mismo tiempo, pero el trabajo de la física es completamente ab-initio. No hace falta decir que los resultados no entran fácilmente en las matemáticas (en mi opinión, esto se debe sobre todo a la reticencia de los matemáticos a hacer medible cada subconjunto de R).
• La integral de trayectoria fermiónica de Candlin (integrales de Berezin)--- Candlin desarrolla en 1956 toda la teoría de las integrales de trayectoria para campos fermiónicos desde cero en un artículo de Neuvo Cimento sin apenas citas (en ninguna dirección). La teoría fue ignorada durante una década sin razón aparente.
• Las relaciones de doble dispersión de Mandelstam (y las relaciones de dispersión en general).
• La cascada inversa de Kraichnan--- generalmente la teoría estadística de las ecuaciones clásicas no lineales es desarrollada desde cero por Kraichnan y otros. La mayor sorpresa es la cascada inversa--- en dos dimensiones, los remolinos suben de escalas pequeñas a escalas grandes.
• La fórmula del bosque de Zimmermann - ahora forma parte de las matemáticas, debido a Kreimer y Connes, pero Zimmermann la hizo desde cero en la física.
• La teoría de las transiciones de fase de segundo orden y la renormalización moderna de Widom/Wilson.
• La teoría de Wilson de las expansiones del producto del operador, (que aún no forma parte de las matemáticas)
• La supersimetría es desarrollada desde cero por varios grupos sin motivación previa en matemáticas (no mucho en física). El germen original de una idea está en Golfond y Likhtman, pero la persona que realiza la mayor parte del trabajo teórico inicial es Pierre Ramond. El trabajo de Wess y Zumino también sale de la nada.
• Álgebra de Virasoro/Álgebra de Kac-Moody-- La álgebra de Virasoro es la teoría de los mapas conformes infinitesimales bajo composición, por lo que debería haber sido matemática clásica, pero hasta donde yo sé, no lo fue. La teoría comenzó (por lo que sé) con el estudio de la teoría de cuerdas a principios de los años 70.
• Simetría de espejo esto se debe a un trabajo previo en la dualidad T en la teoría de cuerdas, no en las matemáticas.
• Las anomalías globales de Witten todavía no forman parte de la matemática rigurosa, pero son ab-initio, y fueron una completa sorpresa.

Me he cansado, pero hay cientos, tal vez miles de ejemplos, porque todos los resultados en la literatura física eran generalmente ab-initio. Es una práctica habitual de algunos matemáticos escudriñar la literatura de física en busca de ideas originales e incorporarlas a las matemáticas.

Answer 4

La solución de la ecuación cúbica de Scipione del Ferro y Tartaglia a principios del siglo XVI. Esto no sólo fue un gran avance en el álgebra, sino que también obligó a los matemáticos a enfrentarse a los números complejos.

Answer 5

La existencia de números irracionales.