Hay una razón por la que uno puede decir un poco más acerca de esta cuestión en el caso de $\pi$. Debido a $\pi$ es (esencialmente) el logaritmo natural de un número racional, preguntas como esta son fácilmente derivados de Schanuel de la conjetura, que establece:
Si $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ son números complejos que son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$, entonces la trascendencia grado en el campo de $\mathbb{Q}(\alpha_1, e^{\alpha_1}, \alpha_2, e^{\alpha_2}, \ldots, \alpha_n, e^{\alpha_n})$ sobre $\mathbb Q$ al menos $n$.
Su ecuación es
$$\pi = \frac{\ln b}{\ln a}\qquad (*)$$
y $(*)$ contradice la $n=3$ caso de Schanuel la conjetura de la siguiente manera. Tomar $\alpha_1=\ln a$, $\alpha_2 = \ln b$, y $\alpha_3 = i\pi$. A continuación, $(*)$ implica que el $\alpha_1$ e $\alpha_2$ son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$ (debido a $\pi$ es irracional), y $\alpha_3$ es trivialmente linealmente independientes de $\alpha_1$ e $\alpha_2$ porque $\alpha_3$ es puramente imaginario y $\alpha_1$ e $\alpha_2$ son reales. Pero $e^{\alpha_1}$, $e^{\alpha_2}$, y $e^{\alpha_3}$ son todos racionales (incluso integral) para Schanuel la conjetura implica que $\alpha_1$, $\alpha_2$, y $\alpha_3$ son algebraicamente independientes. Esto contradice $(*)$.
El $n=3$ caso de Schanuel la conjetura está todavía abierto. Hay varios resultados parciales conocidos (véase por ejemplo el capítulo final de Baker libro Trascendental de la Teoría de números), pero dudo mucho que cualquiera de estos resultados parciales suficiente para refutar $(*)$. Tenga en cuenta que si tomamos $n=2$ e $\alpha_1 = \ln \beta_1$ e $\alpha_2 = \ln \beta_2$ para un valor distinto de cero números algebraicos $\beta_1$ e $\beta_2$, a continuación, recuperar la Gelfond–Schneider teorema.
Es un buen ejercicio para derivar diversas declaraciones de este tipo (por ejemplo, que el $e+\pi$ o $\pi^e$ o lo que sea son trascendentales) de Schanuel de la conjetura. De esta manera usted será capaz de averiguar por su cuenta si la declaración es probable que sea conocido, o al menos ser capaz de acercarse a un experto en la teoría de los números con más dirigida la pregunta.
