¿Cómo describo una categoría de fusión dado un subfactor?

Question

Tenía ganas de seguir con La pregunta de Kate . Hubo algunas buenas respuestas de motivación allí.

Dado un par de factores M < N, hay una forma estándar de construir una categoría 2 cuyos objetos son M y N, cuyas categorías de morfismo son las categorías de bimódulos, y cuya composición se describe mediante algún tipo de producto de Connes. Si restrinjo a la categoría de endomorfismo de M, obtengo una estructura de categoría monoidal, pero no sé cómo decir nada sobre ella. Aquí hay un aluvión de preguntas:

1. Cuando se habla de categorías de fusión procedentes de subfactores, ¿se refiere a la categoría de endomorfismo de uno de los factores?
2. ¿Cómo están relacionadas las categorías de endomorfismo de M y N? ¿Son equivalentes? ¿Son duales de Koszul?
3. ¿El índice de Jones dice algo concreto sobre la categoría, como la dimensión de Frobenius-Perron? (¿Cómo se calcula el índice de Jones?)
4. ¿Cómo se construyen los subfactores exóticos? ¿Surgen simplemente en la naturaleza? Estoy totalmente de acuerdo con que se indiquen referencias aquí.
5. (bonus) Debería obtener una estructura tensorial trenzada a partir de una red de factores en un círculo. ¿Es este el centro de la categoría de fusión, y está en la literatura?

Editar: Basándome en las respuestas (fantásticamente esclarecedoras), parece que mi pregunta extra no tiene sentido, porque la categoría de fusión de bimódulos M-M depende de la elección de N de forma esencial. Tal vez habría que utilizar la expresión "defecto de conformación" en algún lugar. Si se me ocurre un sustituto adecuado, lo presentaré como una pregunta aparte.

Answer 1

Aquí están algunas respuestas parciales:

1 - Generalmente de la fusión de la categoría es la categoría de bifinite correspondencias, es decir, espacios de Hilbert con acciones de $N$ $M$ cuyo módulo de dimensiones finitas. Jones tiene un resultado diciendo que un bifinite correspondencia es irreducible si y sólo si el algebraicas módulo de limitada vectores es irreductible (en su página web, dos subfactores y la algebraica de descomposición...). Esto significa que la fusión de la categoría de bifinite correspondencias debe ser equivalente a la de fusión de la categoría de algebraicas bimodules (probablemente necesite bifinite en el sentido de Lueck, pero esto es muy técnico). La primera categoría es generado por el $N-M$ correspondencia $L^(M)$, y la posterior categoría es generado por $M$ $N-M$ bimodule (generados en el sentido de tomar el tensor de productos y descomposición en irreducibles). De hecho, Morrison, Peters, y Snyder utilizar la expresión algebraica de la categoría en su reciente trabajo sobre la ampliación de Haagerup (arXiv:0909.4099v1).

2 - Esto no es lo que estás preguntando, pero $L^2(M)$ $N-M$ bimodule es una Morita equivalencia de $N$-Hilbert módulos de a $M_1$-Hilbert módulos donde se $M_1$ es la construcción básica de la $N\subset M$. Creo que es un punto interesante traer a colación.

4 - Una de las mejores maneras de construir subfactores es a través de la plana álgebras. Dada una adecuada fusión de la categoría, se puede construir un plano de álgebra. Ejemplos típicos de estos fusión categorías son la fusión de categorías derivadas de la teoría de la representación de un determinado grupo o un quantum de grupo. Esto da lugar a una familia de subfactores. De hecho, ya que (para grupos finitos) hay sólo un número finito de representaciones irreducibles, tenemos que este plano de álgebra será profundidad finita (ver arXiv:0808.0764, sección 4.1), y el subfactor construido a partir de este plano álgebra será profundidad finita así. Cuando alguien dice "exótico subfactor", se refieren a un determinado índice de profundidad finita subfactor que no aparece en la conocida familias procedentes de estos fusión de categorías. A la fecha, la mejor forma de construir estos subfactores es a tropezar con un finito bipartito gráfico que no aparece como una fusión gráfica de determinar si puede ser un director gráfico para un subfactor. Esto ha inspirado un programa para clasificar todos los principales gráficos que se pueden producir (ver el extendido de Haagerup de papel para una sinopsis de esto también).

Empate a 3 - Dos exóticas subfactores, a saber, la Haagerup y extendido de Haagerup subfactor, han sido construidos por finiding un subfactor plana álgebra con la seguridad adecuada gráfico dentro del gráfico planar álgebra de el bipartito gráfico (esta técnica fue explorado por primera vez en detalle en Peters' tesis). Estos subfactores tienen índice igual al cuadrado de la norma de la gráfica, que es el Perron-Frobenius autovalor. De hecho, si un determinado índice subfactor es extremal (irreductible implica extremal), entonces la norma al cuadrado de la directora gráfica es siempre el Jones index. (Uno normalmente se calcula Jones índice mediante el cálculo de la von Neumann dimensión de la $N$-Hilbert módulo de $L^2(M)$.)

5 - sé que Kawahigashi et al. (ver arXiv:0811.4128) han encontrado una red de tipo $III_1$-factores correspondientes a los intervalos en el círculo. Yo recomendaría a partir de ahí.

Answer 2

Una respuesta a la pregunta (5):

Arthur, Andre, y he demostrado que

{conformación de redes [de vN álgebras], de conformación de los defectos, de los sectores, intertwiners}

formulario 3-categoría CN. Dada una red N \en CN, el endomorphisms de la identidad en N, que es el Final(1_N), es un trenzado tensor de la categoría, automáticamente. (De hecho, la mayoría de los compactos definición de un trenzado de tensor de categoría 3 categoría con un objeto y un 1-morfismos.) Podríamos llamar a Extremo(1_N) la representación de la categoría de la red, y denota Rep(N). La categoría de Rep(N) está relacionada con Drinfeld los centros, pero que probablemente es una discusión aparte.

(Por cierto, usted no necesita saber lo que es un defecto de conformación es decir, lo que Rep(N) es: una representación de una red N es sólo un espacio de Hilbert compatibles con las acciones de todos los vN álgebras de que ocurran en la red en el círculo.)

(Evan Jenkins tuvo muy fieles notas de una charla que di sobre este material, que se puede encontrar aquí:

http://www.math.uchicago.edu/~ejenkins/notas/nwtft/25may-cd.pdf

La discusión de la functor Final(1_...) a partir de redes para el tensor de categorías se produce en las páginas 2 y 6.)

Answer 3

Por lo general, usted desea considerar subfactores de índice finito.

Supongamos que M y N son infinitos factores (en el sentido de que no hay finito de seguimiento), entonces M-N bimodules corresponden a morfismos de N a M. Limites " la fusión de bimodules corresponde a la composición de morfismos. En realidad, nada cambia si tu factores son finitos, sólo tienes que considerar la posibilidad de ampli-morfismos.

Este es un 2-categoría, como usted ha señalado, y ha (gratis) en alguna estructura adicional que yo describiría como un "esférica 2-C* categoría". En particular, cada uno de 1-morfismos tiene un doble, un categórico de seguimiento y categórica dimensión y así sucesivamente (técnicamente, esto es una consecuencia de la existencia de un Pimsner-Popa).

Finito índice corresponde a 1-morfismos con finito categórica dimensión. Más precisamente, la mínima (subfactor) índice es el cuadrado de la dimensión categórica.

Supongamos que usted tiene un morfismos \rho N en M (o, equivalentemente, un N-M bimodule). A continuación, tiene una doble \bar \rho M a N. Estas dos 1-morfismos generar a su hijo de 2 categoría.

A menudo, cuando N es un subfactor y M \rho es la inclusión de morfismos, la gente tiende a pasar por alto los dominios de morfismos, y hablamos únicamente de un tensor de la categoría de endomorphisms de M. Esto puede ser confuso.

En cualquier caso, siempre estamos hablando de la 2-categoría generados por \rho \bar \rho. La categoría de endomorphisms de M es enorme, usted no quiere eso.

1) Dos posibilidades: la gente está refiriendo a la categoría de M - M morfismos (equivalentemente, bimodules) generado por \rho \otimes \bar \rho; las personas son vistas por el dominio de los morfismos (como arriba) ver \rho \bar \rho, como los elementos del tensor de la categoría de M endomorphisms y están hablando sobre el tensor de la categoría generadas por estos dos. Por generadas me refiero a completar w.r.t. la composición, de las proyecciones de la suma directa... Ojo, sólo se alternan composiciones de \rho \barra de rho está permitido (por lo que es realmente un 2 categoría).

2) La categoría generados por \rho \otimes \bar \rho es Morita equivalente a la categoría generados por \bar \rho \otimes \rho.

5) no entiendo completamente la pregunta: en el centro de cada categoría? En cualquier caso, prefiero empezar por este papel http://arxiv.org/abs/math/9903104.

Answer 4

La respuesta a la 3) es muy simple, y aún no se ha dado, así que sólo voy a decir que.

El Jones índice de un subfactor N < M es la "constante de acoplamiento" o "Murray-von Neumann dimensión" de la M como N-módulo. Es decir, cada izquierdo N-módulo es una suma directa de la forma

 M = N + N + ... + N + Np

donde p es cierta proyección en el N, y la constante de acoplamiento se define como el número de copias de N que aparecen, además de que la traza de p. Así que es un número real, al menos, 1. Jones demostró que para un subfactor, el índice es, de hecho, en el conjunto {4 \cos^2(\pi/k)}_k \union [4,\infty].

Alternativamente, podemos mirar el principal de los gráficos de la 2-categoría de {N,M}-bimodules. (Aquí N y M son los objetos en un 2-categoría, el bimodules entre ellos son el 1-morfismos, y el intertwiners son el 2-morfismos. Usted puede utilizar cualquiera de los 'algebraicas' bimodules o 'L^2' bimodules, por Dave Penneys respuesta.) La gráfica tiene un vértice por cada simple bimodule, y un borde entre V y W por cada copia de W que aparece en V (x) M. Aquí usted tiene que interpretar M como un N-M bimodule o un M-N bimodule, dependiendo de qué tipo de bimodule V es.

Este gráfico tiene una 'norma', el mayor autovalor de su matriz de adyacencia. Esto también es conocido como el Frobenius-Perron dimenion de M 2-categoría. Al menos para finito de índice finito de profundidad (es decir, un número finito de simple) subfactores, la plaza de esta norma es el índice.

Answer 5

Más de 1), es importante darse cuenta de que realmente hay dos fusión de categorías provenientes de cada subfactor, el N-N bimodules y la M-M bimodules. A menudo esto no es mencionado, y hace innecesaria confusión. En estos días nosotros (yo y Noé) tienden a referirse a estos como "la parte" y "el doble incluso parte".

También hay algunos casos donde, a pesar de las 2 partes son necesariamente Morita equivalente (y, equivalentemente, tiene el mismo doble) parecen bastante diferentes-por ejemplo, uno tiene conmutativa producto tensor, el otro no. El exótico 'Haagerup' subfactor es el primero que puedo pensar así.