Polinomios no negativos en los enteros

Question

Deje $P$ ser un polinomio real de grado exacto $2n$ ($n \geq 1$) cuyos ceros son números reales y tales que \begin{equation*} P(j) \geq 0 \quad \text{for any} \quad j \in \mathbb{Z}. \end{ecuación*}
¿Existe no de números reales negativos. $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n,$ con al menos una de las $\alpha_i$ cero, tales que el polinomio \begin{equation*} Q(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_k P(x+k) \end{ecuación*} no es negativo en toda la recta real, es decir; $Q(x) \geq 0$ cualquier $x \in \mathbb{R}$ ?

Me gustaría añadir que esta cuestión no es meramente una curiosidad matemática, pero aparece de forma natural mientras se trabaja en la espectral de las transformaciones de las medidas discretas.

Answer 1

Ocasionalmente, ojalá alguien me pudiera dar un buen golpe en la cabeza para mantener mi cerebro funcionando y que el más mayor me hago, más frecuentemente, lo necesito. El problema es trivial.

Yo prefiero pensar que $P$ es no negativo en algunos discontinuo con números enteros progresión aritmética $\Lambda$ paso $1$ . A continuación, tenemos que mostrar que $$ \sum_{k=0}^n {n\elegir k}^2 P(k)\ge 0\,. $$ Deje $\lambda$ ser un número tal que $\Lambda=\{x:\cos(\pi x+\lambda)=0\}$ y poner $Q(x)=x(x-1)\dots(x-n)$. Considerar la función de meromorphic $$ F(z)=\frac{\tan(\pi z+\lambda)-\tan\lambda}{Q(z)^2}P(z)\,. $$ Tenga en cuenta que los polos de $F$ son simples y $F(z)$ decae como $|z|^{-2}$ en grandes círculos entre los polos de la tangente, por lo que la suma de los residuos converge a $0$. Ahora el residuo en el cero $k$ de % de $Q$ es$\frac{\pi}{(n!)^2\cos^2\lambda}{n\choose k}^2P(k)$, mientras que los residuos en los polos $x\in\Lambda$ de la tangente se $-\frac 1{\pi Q(x)^2}P(x)\le 0$. El final.