¿Cómo explicar a un ingeniero qué es la geometría algebraica?

Question

Esta pregunta es similar a éste en que estoy preguntando sobre cómo presentar un tema o actividad de investigación matemática a un no matemático: en este caso la geometría algebraica, entendida como la geometría algebraica compleja más clásica para simplificar.

Por supuesto, algunas de las dificultades de la presente pregunta son un subconjunto de las de la pregunta vinculada. Pero creo que aquí quiero ser más preciso, sobre cuál es el obstáculo pedagógico/heurístico que quiero sortear/eliminar/etc, que es, al fin y al cabo, un detalle.

Entonces, digamos que el ingeniero está contento con el inicio

"La geometría algebraica es el estudio de las soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas en varias variables..."

Un ingeniero lo entiende perfectamente.

"...con coeficientes complejos..."

Aquí empieza a sentirse un poco perpleja: ¿por qué números complejos y no sólo reales? Pero puede volver a sentirse cómoda una vez que le digas que es porque quieres tener disponible toda la geometría que hay, sin ocultarle nada -puede pensar en raíces de polinomios de una variable: en $(x-1)(x^2+1)$ las soluciones reales no son todo lo que hay etcétera.

¿Contento? No estoy contento. Porque el ingeniero se verá inevitablemente inducido a pensar que en lo que consiste la geometría algebraica es en juguetear con enormes sistemas de ecuaciones polinómicas intentando realmente encontrar sus soluciones a mano (o por ordenador), utilizando quizá trucos que son esencialmente una versión sofisticada de conceptos de bachillerato como el teorema de Ruffini, la división polinómica y otros trucos diversos para resolver explícitamente sistemas que son explícitamente resolubles como te enseñaron en el bachillerato.

Pregunta. Cómo transmitir adecuadamente que a la geometría algebraica en su mayor parte (sí, lo sé, también hay aspectos computacionales, pero yo sostendría que la mayor parte del área no trata de ellos) no le importa en absoluto de encontrar realmente las soluciones ¿Y que los geómetras algebraicos rara vez se ocupan de manipular enormes sistemas polinómicos, por no hablar de resolverlos? En otras palabras, ¿cómo explicar que AG es el estudio de intrínseco propiedades de los objetos descritos por sistemas polinómicos, sin parecer demasiado abstracto y lejano?

Además, ¿cómo transmitiría que los objetos de AG son sólo localmente descrito (o mejor dicho, a la luz del punto anterior, descriptible ) por esos sistemas polinómicos en varias variables?

Answer 1

Tal vez te estés equivocando. En lugar de intentar describir lo que la mayoría de los geómetras algebraicos hacen hoy en día, intenta describir un problema, o conjunto de problemas, que sea razonablemente concreto y accesible, y parte de ahí. Creo que hay muchos temas para elegir. Ya has mencionado la resolución de sistemas de ecuaciones. Aunque la mayoría de los geómetras algebraicos no intentan encontrar soluciones, sin duda quieren saber cuándo existen soluciones (Nullstellensatz) y cuántos parámetros se necesitan (dimensión). Otra motivación históricamente importante es el estudio de las integrales elípticas/abelianas: se puede pasar de leyes de adición para integrales a leyes de adición en la curva/jacobiana...

Answer 2

El libro de Abhyankar Geometría algebraica para científicos e ingenieros no da una respuesta corta, sino muchas largas, con ejemplos explícitos de determinación de la naturaleza geométrica de las soluciones de ecuaciones algebraicas.

Answer 3

En conversaciones de este tipo, suelo empezar con un ejemplo concreto de un problema difícil. Las intersecciones completas parecen funcionar bien: Observar que, en general, dos superficies en el espacio tridimensional se encuentran en una curva y preguntar si, dada una curva (definida algebraicamente), es siempre la intersección de dos superficies (definidas algebraicamente). ¿Cómo se reconocen las que lo son y las que no? Esto te da la oportunidad de hablar del valor de poner sobre la mesa tanto la intuición geométrica como los cálculos algebraicos.

Generalicemos ahora a dimensiones superiores. Ahora (si parecen querer más) puedes hablar de sutilezas como la distinción entre una verdadera intersección completa y una intersección completa set-teórica. O dar una secuencia de casos específicos cada vez más desafiantes. Etcétera.

También he utilizado el ejemplo de la clasificación de haces vectoriales, aunque es un poco trampa. Esto es fácil de explicar en el caso topológico: Tienes, digamos, un círculo y quieres unir una línea en cada punto de forma continua. Puedes hacer un cilindro o una banda de Mobius. ¿Qué más puedes hacer? ¿Cuándo consideras que dos de estas cosas son "iguales"? Observa que las respuestas a estas preguntas dependen, en parte, de las reglas con las que construyas tus objetos y las reglas para considerar que dos cosas son iguales. Si las reglas son que todo tiene que ser continuo, estás haciendo topología; si las reglas son que todo tiene que ser algebraico, estás haciendo geometría algebraica. Menciona a Quillen-Suslin: Si el espacio base es en sí mismo un espacio vectorial, es bastante fácil ver que todos los haces vectoriales de un rango dado son topológicamente equivalentes, pero bastante difícil ver lo mismo en el caso algebraico. Etcétera.

Answer 4

Esto va en la línea sugerida por @DonuArapura: "describir un problema [...] que sea razonablemente concreto y accesible, y partir de ahí".

He aquí un problema que un ingeniero apreciaría: ¿Qué trozos de alambre doblados pueden pasar por un agujero de alfiler en un plano mediante movimientos rígidos? Tales curvas se han llamado curvas roscables . 1

Decidir si una curva algebraica plana dada $C$ es enhebrable depende del número de bitangentes. Para una curva de grado $d$ este número es $O(d^4)$ , un resultado de Schubert. Ver la pregunta MO, Número de bitangentes a curva algebraica conexa .

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1 J.O'Rourke y Emmely Rogers, "Curvas enhebrables". Proc. 30th Canad. Conf. Comput. Geom. , ago 2018, 328-333. ( Resumen arXiv ).

Answer 5

Si sólo intentas comunicar qué es la geometría algebraica, sin tratar de convencer al ingeniero de que merece la pena estudiarla, entonces un punto de partida sencillo es recordar la clasificación de las secciones cónicas (elipse, parábola, hipérbola) y decir que una cosa que intentan hacer los geómetras algebraicos es clasificar las distintas posibilidades que pueden darse con mayor grado/número de ecuaciones/número de variables.

Observe, por cierto, que existe una "desconexión" similar entre ingenieros y matemáticos cuando se trata de EDP. A menudo, los ingenieros sólo quieren resolver las EDP. A los matemáticos también les interesa resolver las EDP, pero también se interesan por otras cuestiones. El concepto de querer comprender las características cualitativas de una solución puede ser más fácil de explicar en el contexto de las EDP, y entonces se puede decir que la situación en la geometría algebraica es análoga.