Voy a dar una respuesta, pero primero me gustaría aclarar la cuestión. A mí me parece que la mayoría de los comentaristas han interpretado mal la pregunta. La pregunta no es cómo la gente se las arreglaron para construir diferentes ejemplos de módulos de espacios antes de que tuvieran la herramienta de la lengua de functors. La pregunta es la siguiente: Un espacio de moduli se supone que es un espacio cuyos puntos están en bijection con el isomorfismo clases de algún tipo de objeto. Pero no es sólo eso; porque, si sólo necesitamos encontrar un bijection, entonces los conjuntos simplemente necesitan tener la misma cardinalidad. Pero necesitamos más: es decir, necesitamos la geometría del espacio que de alguna manera reflejan la naturaleza de los objetos en una "forma natural." Ahora, podemos tener una idea intuitiva de lo que esto significa, y en muchos casos, podríamos ser capaces de reconocer cuando algo de espacio no es sólo en bijection con una clase de objetos, pero en realidad tiene la geometría que refleja los objetos. Pero la pregunta es: ¿cómo podemos, precisamente, el estado de lo que esto significa?
Hoy en día, tenemos el lenguaje de functors y functor de puntos, y no nos fijemos sólo en una, sino en clases de isomorfismo de un determinado tipo de objeto sobre bases arbitrarias, dado un functor. Se dice entonces que un espacio es un espacio de moduli de esos objetos si representa que functor (o representa a isomorphisms - el grueso vs fina distinción no es demasiado relevante para esta discusión); tenga en cuenta que ahora, esto determina no sólo el conjunto de los puntos de nuestro espacio, pero en realidad (por Yoneda del lema) determina la geometría de nuestro espacio.
Así que la pregunta es la siguiente: antes de la noción de functors y functor de puntos, ¿cómo la gente rigurosamente definir lo que significaba para la geometría del espacio de moduli de reflejar la geometría de la naturaleza del conjunto de isomorfismo de las clases de objetos a parametrizar. Debo añadir que esta es una pregunta que yo he tenido curiosidad acerca de mí mismo por un largo tiempo.
Ahora, de acuerdo a Newstead texto de la Introducción a los Módulos de Problemas y la Órbita de los Espacios,
La palabra "moduli" es debido a Riemann, quien mostró en su célebre papel de 1857 en abelian funciones que un isomorfismo clase de superficies de Riemann de género $p$... sin Embargo, es sólo muy recientemente que uno ha sido capaz de formular módulos de problemas en términos precisos y, en algunos casos, para obtener las soluciones a los mismos.
Este libro (al menos la edición que yo estoy mirando), fue escrito en 1977, lo que da un poco de perspectiva en esta declaración.
En el siguiente capítulo, Newstead, se define una familia de objetos parametrizadas por una variedad. La definición es bastante simple: se trata de una de morfismos de variedades de $X \to S$ de manera tal que la fibra de cualquier punto de $s$ de % de $S$ (es decir, su pre-imagen en $X$) es un objeto del tipo en cuestión. Incluso si uno no tiene el idioma de functors, mi conjetura es que esta idea podría motivar a una más precisa de la noción de lo que es un espacio de moduli es.
János Kollár del proyecto de libro sobre los módulos de espacios también da algunas pistas:
La literatura clásica nunca la diferencia entre el sistema lineal como un conjunto y el sistema lineal como un espacio proyectivo. Hay, de hecho, algunas de las razones para distinguirlos mientras trabajamos a través de una base fija campo $k$. Si, sin embargo, pasamos a un campo de extensión de la $K/k$, las ventajas de la visualización de $|L|$ como $k$-variedad aparecer.
La primera frase sugiere que no hay una definición precisa de espacio de moduli en la literatura clásica. También sugiere natural de la idea que conduce a la functor de puntos, es decir, que sobre un campo k, que puede ser que desee mirar y objetos de parametrización a través de campos diferentes extensiones de k.
En general, como se puede ver en la historia se menciona en su texto, la gente no necesariamente tienen definiciones precisas de los módulos de los espacios, pero que ellos entendían que la geometría (bueno, los parámetros) del espacio de moduli debe corresponden a los coeficientes de la definición de las ecuaciones de los objetos en cuestión a parametrizar.
Finalmente, en Dieudonné del Desarrollo Histórico de la Geometría Algebraica, afirma el autor en la página.837
el significado preciso de este resultado que las superficies de Riemann de género $g$ son parametrizadas por $3g−3$ complejo parametrizadas iba a quedarse hasta muy recientemente, entre los menos aclarado los conceptos de la teoría.
Mientras que esto no responde a la pregunta, podría ser de interés señalar que Dieudonné más adelante señala en su sección de Grothendieck del functor de puntos
en particular, una de las transferencias, de esa forma, la teoría de los esquemas de muchos clásicos de construcciones tales como espacios proyectivos..., y uno es capaz de dar un significado general que el concepto de "módulos", presentado por Riemann para las curvas
lo que sugiere ligeramente que no había sentido general antes de este punto.
Que es lo mejor que puedo hacer por ahora. Un experto en la historia de la geometría algebraica puede tener más que decir, pero las fuentes de las que he parecen apuntar en la dirección de decir que no hay una definición precisa hasta mucho más tarde
