Referencias de las superficies de Riemann

Question

Sé que esta pregunta se ha hecho antes en MO y MSE ( aquí , aquí , aquí , aquí ) pero las respuestas que me dieron sólo me sirvieron parcialmente, y sospecho que no soy el único.

Estoy a punto de impartir un primer curso sobre superficies de Riemann, y estoy tratando de conseguir una visión bastante completa de las principales referencias, como apoyo tanto para mí como para los alumnos.

He recopilado una lista, aquí va en orden alfabético. Por supuesto, es necesariamente subjetiva. Para entradas más detalladas, hice una bibliografía usando las entradas bibtex de MathSciNet: haga clic aquí .

1. Bobenko. Introducción a las superficies compactas de Riemann.
2. Bost. Introduction to compact Riemann surfaces, Jacobians, and abelian varieties.
3. de Saint-Gervais. Uniformidad de las superficies de Riemann: revisión de un teorema centenario.
4. Donaldson. Superficies de Riemann.
5. Farkas y Kra. Superficies de Riemann.
6. Forster. Conferencias sobre superficies de Riemann.
7. Griffiths. Introducción a las curvas algebraicas.
8. Armas de fuego. Conferencias sobre superficies de Riemann.
9. Jost. Superficies compactas de Riemann.
10. Kirwan. Curvas algebraicas complejas.
11. McMullen. Análisis complejo en superficies de Riemann.
12. McMullen. Superficies de Riemann, dinámica y geometría.
13. Miranda. Curvas algebraicas y superficies de Riemann.
14. Narasimhan. Superficies compactas de Riemann.
15. Narasimhan y Nievergelt. Análisis complejo en una variable.
16. Reyssat. Algunos aspectos de las superficies de Riemann.
17. Springer. Introducción a las superficies de Riemann.
18. Varolín. Superficies de Riemann por medio de la geometría analítica compleja.
19. Weyl. El concepto de superficie de Riemann.

Tener una buena idea de lo que hace cada uno de estos libros, más allá de una primera impresión superficial, es una tarea bastante colosal (al menos para mí).

Lo que espero es que, si conocen muy bien tal o cual referencia de la lista, puedan dar una breve descripción de la misma: en qué lugar de la literatura existente se encuentra, qué enfoque/punto de vista se adopta, cuáles son sus beneficios y sus escollos. Por supuesto, también estoy encantado de actualizar la lista con nuevas referencias, especialmente si me he dejado alguna importante.

Como ejemplo, para el libro de Forster (5.) puedo utilizar simplemente la respuesta aceptada allí : Según Ted Shifrin :

Está muy bien escrito, pero definitivamente tiene un sabor más analítico. En particular, incluye prácticamente todo el análisis para demostrar la dimensionalidad finita de la cohomología de gavillas en un sur compacto de Riemann compacta. También se ocupa bastante de las superficies de Riemann no compactas, pero incluye material estándar sobre el Teorema de Abel, el Abel-Jacobi etc.

Answer 1

Como se desprende de su lista de bibliografía, hay dos aspectos de la teoría: Superficies de Riemann en el sentido de variedades complejas unidimensionales (que no son necesariamente algebraicas) y Curvas Algebraicas Complejas (que no son necesariamente suaves). Hay que señalar que algunos autores (¿de la vieja escuela?) siguen utilizando el término Superficie de Riemann para referirse a una Curva Algebraica Compleja, independientemente de si es lisa o no, excluyendo así también el caso no compacto.

Ahora haré una lista de fuentes adicionales sobre Superficies de Riemann y Curvas Algebraicas Complejas que no están presentes en su lista y que se centran exclusivamente en uno de estos dos temas o en ambos, y luego editaré mi respuesta para añadir algo de información sobre cada uno de ellos. Hay muchas más referencias que incluyen las Superficies de Riemann y las Curvas Algebraicas Complejas como subconjuntos de, por ejemplo, un texto más grande sobre Geometría Compleja - por el momento no las mencionaré, pero hazme saber si estás interesado, pueden ser buenas fuentes también para algún tema.

La leyenda: en cursiva las referencias están presentes en la lista original de OP

1. Arbarello, Cornalba, Griffiths, Harris - Geometry of Algebraic Curves Vol. I & II (1985,2011): Por muy completo que sea, este es no un primer curso sobre curvas algebraicas complejas, sino que refleja el estado de la técnica en el momento de la redacción. Nótese la gran diferencia entre los años del primer y del segundo volumen. El tema central del primer volumen son las series lineales, mientras que el segundo volumen trata de todo tipo de espacios de módulo de las curvas. En la introducción del primer volumen los autores escriben que el lector debe tener un conocimiento práctico de la geometría algebraica en la cantidad del primer capítulo de Hartshorne, pero no creo que esto sea suficiente, tal vez en realidad se referían al segundo y tercer capítulo de Hartshorne. El segundo volumen está por encima de mi nivel salarial para comentarlo :-)
2. Bertola - Riemann Surfaces and Theta Functions (lecture notes): tiene un enfoque completamente analítico, centrándose sobre todo en el caso compacto después de introducir las generalidades iniciales. Contiene una buena discusión de los tres tipos de diferenciales abelianas mediante el divisor theta e introduce los bidiferenciales.
3. Bobenko - Superficies compactas de Riemann : (obviamente) sólo trata de curvas algebraicas complejas suaves, pero adopta un enfoque analítico. No utiliza las láminas. Contiene una demostración de Riemann-Roch (no todos lo hacen). Aunque introduce los tres tipos de diferenciales abelianas, no discute ninguna de las leyes de reciprocidad. Termina introduciendo los haces de líneas.
4. Brieskorn, Knörrer - Curvas algebraicas planas (1986):
5. Cavalieri, Miles - Riemann Surfaces and Algebraic Curves, A First Course in Hurwitz Theory (2016): como sugiere el título, es una aproximación a las curvas algebraicas complejas con un fuerte enfoque en la teoría de Hurwitz. Se exponen los fundamentos de las superficies de Riemann y luego el autor pasa a contarlas. En mi opinión, el libro es adecuado para un curso de licenciatura, ya que los requisitos previos son bajos. Sin embargo, las curvas algebraicas complejas singulares apenas se tocan.
6. Clemens - Libro de recortes de la teoría de las curvas complejas (2ed.,2003)
7. Dubrovin - Sistemas integrables y superficies de Riemann (notas de clase,2009): véase la siguiente referencia. Para Dubrovin las superficies de Riemann son curvas algebraicas complejas. Los apuntes se basan en su libro en ruso. Sin embargo, lo que no se incluye en la siguiente referencia, es la conexión con las ecuaciones diferenciales. La primera parte (de las tres) de los apuntes está dedicada a la ecuación de KdV, mientras que la tercera parte trata de las funciones de Baker-Akhiezer.
8. Tamara Grava - Superficies de Riemann (apuntes de clase, 2014): versión mejorada basada en los apuntes de Dubrovin, pero define una superficie de Riemann como una variedad analítica compleja unidimensional. No utiliza las láminas. Trata casi sólo de las Superficies de Riemann compactas mediante un enfoque analítico, pero también da una discusión sobre la resolución de singularidades para curvas algebraicas complejas. Incluye una demostración de Riemann-Roch. No menciona en absoluto los haces de líneas. El capítulo sobre los divisores debe leerse con mucho cuidado, ya que puede haber una o dos afirmaciones precipitadas :-)
9. Eynard - Conferencias sobre superficies compactas de Riemann (2018)
10. Farkas, Kra - Superficies de Riemann (1980) El caso de las gavillas: incluye tanto el caso no compacto como el compacto y el tratamiento es analítico. No utiliza gavillas (aunque, según recuerdo, la gavilla de funciones holomorfas recibe una definición en alguna parte). No me gusta su prueba de la reciprocidad entre diferenciales abelianas del tercer tipo: OMI es más elegante introducir sólo un corte en el polígono fundamental, a saber, entre los puntos $P$ y $Q$ en lugar de 4 cortes desde un punto de origen fijo en la frontera del polígono fundamental $O$ a $P$ y $O$ a $Q$ y luego hacia atrás (podría incluir un esquema de prueba para el $PQ$ corte si alguien está interesado). Además, hay un (sub)capítulo propio sobre la teoría de la intersección en las superficies de Riemann.
11. Fulton - Algebraic Curves, Introduction to Algebraic Geometry (2008): es una introducción de geometría algebraica estándar a las curvas algebraicas sobre un campo algebraicamente cerrado de forma clásica, es decir, sin gavillas ni esquemas.
12. Gibson - Elementary Geometry of Algebraic Curves (1998): es similar en espíritu al libro de Fulton, pero es probablemente (incluso) más visual y orientado a los ejemplos.
13. Gunning - Superficies de Riemann y funciones Theta de 2º orden
14. Gunning - Some Topics in the Function Theory of Compact Riemann Surfaces (borrador ver julio 2015): definitivamente no se recomienda como primera lectura. Discute los temas estándar de las superficies de Riemann, como las diferencias holomorfas y meromorfas, etc. desde un punto de vista más avanzado, definitivamente teórico. OMI, las pruebas pueden ser a veces un poco tersas para seguir, pero después de todo es sólo un proyecto y no se entiende como un curso de introducción para los estudiantes.
15. Griffiths - Introducción a las curvas algebraicas (revisado,1985) : enfoque analítico sin teoría de gavillas ni cohomología de gavillas. Sin embargo, es el único libro sobre superficies de Riemann (en un sentido amplio) que conozco que discute la normalización en detalle.
16. Harris - Geometría de las curvas algebraicas (notas de clase de Harvard,2015)
17. Kirwan - Curvas algebraicas complejas (1992)
18. Kunz - Introducción a las curvas algebraicas planas (2005)
19. Lang - Introducción a las funciones algebraicas y abelianas (2ed.,1982)
20. Miranda - Curvas algebraicas y superficies de Riemann (1995)
21. Mumford - Curvas y sus jacobianos (1999)
22. Narasimhan - Superficies compactas de Riemann (1992, reimpresión, 1996)
23. Perutz - Superficies de Riemann (notas de clase, 2016)
24. Springer - Introducción a las superficies de Riemann (1957)
25. Teleman - Riemann Surfaces (apuntes de clase, 2003): aunque es corto (sólo 69 páginas), personalmente me pareció muy esclarecedor en muchos puntos y contiene varias imágenes bonitas, aunque dibujadas a mano.
26. Varolin - Superficies de Riemann por medio de la geometría analítica : evita por completo las gavillas a pesar de ser muy detallado.

Answer 2

Para una perspectiva hiperbólica: "Geometría y espectro de las superficies compactas de Riemann" de Buser es un buen libro.

Answer 3

Lo copio aquí de la página oficial del CUP, así que no creo que esté violando los derechos de autor de nadie: una breve reseña de uno de mis viejos favoritos; parece que aborda precisamente los puntos que te interesan. Pronto debería salir una nueva edición (?).

BEARDON, A. J. A primer on Riemann surfaces (London Mathematical Society Lecture Note Series 78, Cambridge University Press, 1984), 188 pp. Los estudiantes de posgrado o de grado avanzado se encuentran a menudo con las superficies de Riemann como una sección en un segundo curso de análisis complejo o un capítulo en un texto avanzado de análisis complejo. Para seguir adelante, deben recurrir a uno de los numerosos textos avanzados sobre superficies de Riemann, por ejemplo, los de Ahlfors y Sario, Weyl, Forster, Springer (ahora lamentablemente agotado), Gunning, Farkas y Kra. El libro que reseñamos tiene objetivos menos grandiosos que estos libros y pretende llenar el vacío proporcionando una introducción pausada y elemental a las superficies de Riemann. Las superficies de Riemann se introducen inicialmente en abstracto, sin conexiones con las funciones analíticas. El sabor es geométrico y, por ejemplo, se dedica un capítulo a los automorfismos del disco, el plano y la esfera de Riemann. La conexión con las funciones analíticas se discute más tarde, junto con detalles sobre los espacios de cobertura. El penúltimo capítulo contiene una buena introducción a las funciones armónicas y subarmónicas, el problema de Dirichlet y las funciones de Green. Esto permite al autor, en el último capítulo, alcanzar su objetivo de demostrar el teorema del mapa de Riemann y el teorema de la uniformización y discutir su significado geométrico. El título describe acertadamente la naturaleza del libro y será adecuado para aquellos estudiantes cuyas necesidades no se extiendan a los textos más profundos sobre superficies de Riemann. Su único competidor con estos objetivos limitados es quizás el mucho menos disponible Rice University Notes de B. F. Jones, por lo que debería ser un complemento útil de esta serie de apuntes de L.M.S.