La influencia de la teoría de cuerdas en las matemáticas para los filósofos.

Question

He aceptado, quizás imprudentemente, dar una charla a los filósofos sobre la teoría de cuerdas.

Me gustaría dar a los filósofos una visión general de la situación e influencia de la teoría de cuerdas en la física, para lo que me siento competente, pero también me gustaría decir algo sobre la influencia que ha tenido en las matemáticas, donde estoy en un terreno menos terreno menos conocido. He leído el manifiesto de Jaffe-Quinn y las respuestas en http://arxiv.org/abs/math.HO/9404229 . Lo que me gustaría de MO es que me indicara los debates más recientes sobre este tema en la comunidad matemática para poder hacerme una idea de cómo están las cosas 16 años después.

Answer 1

Querido Jeff, la teoría de cuerdas ha tenido una influencia colosal en la renovación de la geometría enumerativa, una rama de la geometría algebraica de dos siglos de antigüedad, inextricablemente ligada a la teoría de intersecciones. He aquí una anécdota reveladora.

Ellingsrud y Strømme, dos renombrados especialistas en la teoría de los esquemas de Hilbert, habían calculado el número de curvas cúbicas racionales en un triplete quíntico general mediante argumentos basados en su artículo

Sobre el anillo de Chow de un cociente geométrico , Annals of Math. 130 (1987) 159-187

Su resultado difiere del predicho por la teoría de cuerdas. Por supuesto, todo el mundo pensó que los matemáticos tenían razón, pero en realidad había habido un error de programación en sus cálculos y el resultado correcto era el de los físicos (que Ellingsrud y Strømme confirmaron después de corregir su error).

Este fue el comienzo de una larga lista de resultados predichos por los teóricos de las cuerdas y posteriormente demostrados por los matemáticos, siendo un ejemplo célebre la fórmula de Kontsevich para el número $N_d$ de grado $d$ curvas racionales en $\mathbb P^2$ de paso $3d-1$ puntos en posición general.

Puede leer todo sobre la fórmula de Kontsevich en la publicación gratuita en línea de Kock y Vainsencher libro

Y una referencia general agradablemente elemental es el libro de Sheldon Katz Geometría Enumerativa y Teoría de Cuerdas publicado por la AMS en su Student Mathematical Library (vol. 32).

Answer 2

Un descubrimiento de la teoría de cuerdas que podría mencionarse porque ha tenido un gran impacto en las matemáticas es la simetría de espejo. Aunque este descubrimiento, realizado en 1989, es anterior al manifiesto, probablemente encajaría en un debate orientado a las matemáticas, ya que fue bastante inesperado para los matemáticos (y los físicos), y sus ramificaciones matemáticas más profundas no quedaron claras hasta más tarde.

Answer 3

El manifiesto Jaffe-Quinn realmente tenía poco que ver con la teoría de cuerdas, pero mucho con la teoría cuántica de campos topológicos, especialmente la tqft 3d. Recuerdo que Frank Quinn habló largo y tendido sobre esto durante una excursión en la escuela de verano de Park City de 1991. Allí daba una conferencia sobre la qft topológica, véase

"Lectures on Axiomatic Topological Quantum Field Theory" en "Geometry and Quantum Field Theory, IAS/Park City Mathematics Series, Volume 1", editado por Daniel Freed y Karen Uhlenbeck.

El tipo de cosa que preocupaba a Quinn era:

1. El gran artículo de Witten sobre "Supersimetría y teoría de Morse", que se publicó en una revista de matemáticas, el Journal of Differential Geometry.
2. El trabajo de Witten, ganador de la medalla Fields, sobre el polinomio de Jones y la teoría de Chern-Simons.

Quinn explicó que al principio de su carrera había estado muy influenciado por el trabajo de Thurston y Sullivan, pero descubrió que tratar de emularlos le había llevado a perder la noción de lo que entendía con precisión y lo que no, lo que requería un doloroso periodo de vuelta a una forma de trabajo más rigurosa. Le preocupaba que perder la distinción entre trabajos como los de Witten y el trabajo verdaderamente riguroso llevara a otros a la problemática situación en la que él se había encontrado cuando era un joven matemático. Al final, creo que la respuesta de Atiyah se impuso: argumentó que los matemáticos eran plenamente capaces de proteger su virtud mientras interactuaban con los físicos. Poco después de este intercambio, los topólogos de la comunidad matemática que se mostraban escépticos sobre la importancia de lo que Witten estaba aportando a las matemáticas fueron convencidos por las ecuaciones de Seiberg-Witten.

Pero el ejemplo dado por Quinn de cómo hacer TQFT al final se ha impuesto en gran medida. Hubo un intento de enseñar a los matemáticos la QFT real detrás de Seiberg-Witten en la IAS en 96/97, pero no creo que tuviera mucho éxito. Hoy en día, tanto la TQFT como las ecuaciones de Seiberg-Witten siguen siendo ideas muy importantes en topología, pero se persiguen con los estándares convencionales de rigor. Los matemáticos se han acostumbrado a tomar los argumentos de QFT de los físicos y a extraer y generalizar aquellas partes que pueden hacerse rigurosas y encajar en la tradición matemática en evolución.

Como otros han mencionado, para el caso de la teoría de cuerdas, la simetría especular es probablemente el mejor ejemplo de una idea surgida de ella que ha tenido una enorme influencia en las matemáticas. El reciente y popular libro de Yau "The Shape of Inner Space" contiene muchos otros ejemplos de la interacción de las matemáticas y la física en torno a las variedades de Calabi-Yau.