¿La mecánica cuántica cuantifica realmente alguna vez la mecánica clásica?

Question

Tenía curiosidad sobre una pregunta de física que pensé que podría ser adecuada para mathoverflow. Busqué en la respuesta a esta pregunta pero no es lo que busco.

Básicamente, la mecánica clásica y la $\hbar \to 0$ límite de la mecánica cuántica estudian la acción de la misma álgebra sobre representaciones muy diferentes. Tengo curiosidad por saber si existe físico explicación de por qué al degenerar a la $\hbar \to 0$ limitan el álgebra de observables degenera al mismo álgebra de Poisson que aparece en la mecánica clásica, pero la representación relevante cambia significativamente. En concreto, los sistemas clásicos (no relativistas) tienen una evolución $\frac{d}{dt} \rho = \{H, \rho\}$ y los sistemas cuánticos tienen evolución $\frac{d}{dt}\psi = [H, \psi]$ (hasta ciertas constantes). Hasta aquí parecen análogas, pero en mecánica clásica, la función de densidad $\rho$ es a su vez una función sobre el espacio de fases (es decir, un vector de la representación regular), mientras que en mecánica cuántica, $\psi$ es una es sólo una función (o algo así) en el $x_i$ es decir, ¡un vector de una representación de "dimensión raíz cuadrada" (soporte singular de media dimensión)!

Mi opinión es que se trata de un fenómeno de muchas partículas, y una respuesta totalmente honesta a "por qué observamos la mecánica clásica" probablemente implicará un estudio serio de la desconherencia y preguntas sobre "qué es la observación", etc.

Pero tengo curiosidad por saber si hay alguna forma heurística de ver por qué el álgebra que actúa es la misma (y de qué forma se permite que cambie la representación: por ejemplo, ¿hay alguna incrustación de la representación regular en un producto tensorial de irreducibles?)

Answer 1

Quizá sea útil distinguir aquí entre cuatro tipos de mecánica:

1. Mecánica clásica en estado puro . En este caso, la mecánica es clásica y el sistema se describe mediante un único punto $(q,p)$ en el espacio de fase. Este punto evoluciona a través de las ecuaciones de movimiento de Hamilton $\partial_t q = \frac{\partial H}{\partial p}; \partial_t p = - \frac{\partial H}{\partial q}$ .
2. Mecánica clásica de estados mixtos . En este caso, la mecánica es clásica y el sistema se describe mediante una función de densidad de probabilidad $\rho(q,p)$ en el espacio de fase (esta densidad puede ser una función generalizada, por ejemplo, una delta de Dirac, en lugar de una función clásica). Esta función de densidad evoluciona a través de la ecuación de advección $\partial_t \rho = \partial_p ( \rho \partial_q H ) - \partial_q (\rho \partial_p H ) = \{H,\rho\}$ .
3. Mecánica cuántica de estado puro . En este caso, la mecánica es cuántica y el sistema se describe mediante una función de onda $|\psi\rangle$ en un espacio de Hilbert. Esta función de onda evoluciona a través de la ecuación de movimiento de Schrödinger $\partial_t |\psi \rangle = \frac{1}{i\hbar} H |\psi\rangle$ .
4. Mecánica cuántica de estados mixtos . En este caso, la mecánica es cuántica y el sistema se describe mediante un matriz de densidad $\rho$ (un operador de traza uno semidefinido positivo en un espacio de Hilbert). Esta matriz de densidad evoluciona mediante la ecuación de evolución de von Neumann $\partial_t \rho = \frac{1}{i\hbar} [H,\rho]$ .

Tanto en el régimen clásico como en el cuántico, un estado mixto puede verse como una superposición convexa (o clásica) de estados puros (con un estado clásico puro $(q,p)$ identificada con la función de densidad de probabilidad de Dirac $\delta_{(q,p)}$ y un estado cuántico puro $|\psi \rangle$ identificada con una matriz de densidad pura $|\psi \rangle \langle \psi|$ ). Así que, en principio, la mecánica de estados puros describe completamente la mecánica de estados mixtos (aunque con la salvedad de que en el caso cuántico, a diferencia del caso clásico, la descomposición de un estado mixto como superposición de estados puros no es única). Sin embargo, el principio de correspondencia es más claro de ver a nivel de estado mixto, es decir, comparar 2. con 4. en el límite semiclásico $\hbar \to 0$ en lugar de comparar 1. con 3.. En efecto, cualquier matriz de densidad $\rho$ tiene un Transformada de Wigner $\tilde \rho$ que es una función en el espacio de fases definida por dualidad como $\int \tilde \rho(q,p) A(q,p)\ dq dp = \hbox{tr}( \rho \hbox{Op}(A) )$ para cualquier observable clásico $A$ donde $\hbox{Op}(A)$ es la cuantificación (Weyl) de $A$ (es decir, la transformada de Wigner es el adjunto del operador de cuantificación). Esta transformada de Wigner $\tilde \rho$ no será normalmente no negativa y, por tanto, no será una función de densidad de probabilidad clásica, pero en regímenes semiclásicos suele ocurrir que $\tilde \rho$ tenderá (en un sentido débil adecuado) a una densidad de probabilidad clásica cuando $\hbar \to 0$ que evolucionará por la ecuación clásica de advección. Este es el dual de la afirmación de que la ecuación cuántica de Heisenberg $\partial_t A = \frac{i}{\hbar} [H,A]$ para la evolución de los observables cuánticos converge a la ecuación clásica de Poisson $\partial_t A = -\{ H,A\}$ para la evolución de los observables clásicos en el límite semiclásico $\hbar \to 0$ .

Sigue existiendo una correspondencia a nivel de 1. y 3., pero es un poco más difícil de ver; hay que restringirse a cosas como las soluciones de tipo "haz gaussiano". $|\psi \rangle$ a la ecuación de Schrödinger que estén bien localizados tanto en el espacio de posición como en el de momento, con el fin de obtener un límite clásico que sea un estado puro y no un estado mixto. (Una función de onda arbitraria obtendría en cambio un "retrato del espacio de fases" que en el límite semiclásico se convierte [suponiendo cierta equicontinuidad y estanqueidad, y posiblemente después de pasar a una subsecuencia, como se señala en los comentarios] en un estado mixto a partir de 2., en lugar de un estado puro a partir de 1.).

Answer 2

Pensé que estaría bien acoplar la gran respuesta general de Terry Tao mostrando que podemos escribir un límite explícito al caso clásico para el oscilador armónico simple. Estas soluciones son un ejemplo de "estados coherentes". Aprendí esto de una vieja entrada de blog de John Baez que no puedo encontrar ahora mismo; Wikipedia tiene un exposición menos útil .

Trabajamos con un oscilador de frecuencia $\omega$ por lo que la energía potencial es $(1/2) m \omega^2 x^2$ y la ecuación de Schrödinger es $$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2}{(\partial x)^2} \psi + \frac{m \omega^2}{2} x^2 \psi.$$

Como de costumbre, es conveniente definir $$a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left(x+\frac{\hbar}{m \omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) \quad \mbox{annihilation}$$ $$a^{\dagger} = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left(x-\frac{\hbar}{m \omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) \quad \mbox{creation}.$$

El estado de menor energía es el núcleo de $a$ a saber $\psi_0 := \exp(-m \omega x^2/(2 \hbar))$ da lugar a la solución $e^{i \omega t/2} \psi_0$ . Entonces $\frac{1}{\sqrt{n!}} (a^{\dagger})^n \psi_0$ es el $n$ -ésimo estado energético, por lo que $e^{i (n+1/2) \omega t} (a^{\dagger})^n \psi_0$ es el $n$ -ésima solución de la ecuación dependiente del tiempo (hasta la normalización). Prefiero reescribir esto como $(e^{i \omega t} a^{\dagger})^n (e^{i \omega t/2} \psi_0)$ .

Si $F(z)=\sum f_n z^n$ es entonces cualquier serie de potencias, al menos formalmente, $F(e^{i \omega t} a^{\dagger})(e^{i \omega t/2} \psi_0)$ es una solución de la ecuación de Schrödinger, ya que es una combinación lineal de los estados de energía pura anteriores.

En particular, tome $F(z) = \exp(C z)$ para algún escalar $C$ . Así que $$\exp\left( C e^{i \omega t} \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left(x-\frac{\hbar}{m \omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) \right) (e^{i \omega t/2} \psi_0)$$ resolver la ecuación de Schrödinger. Reducimos el desorden estableciendo $C\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}=R$ la constante $R$ tiene unidades de distancia. Así que nuestra solución es $$\exp\left( e^{i \omega t} \left(\frac{R m \omega}{\hbar} x-R \frac{\partial}{\partial x} \right) \right) (e^{i \omega t/2} \psi_0)$$

Ahora, el conmutador de $\tfrac{R m \omega}{\hbar} x$ y $R \tfrac{\partial}{\partial x}$ es $\tfrac{m R^2 \omega}{\hbar}$ que conmuta con $x$ y $\partial/\partial x$ . Así, por Baker-Cambell-Hausdorff (y descartando algunas constantes globales) podemos reescribir $(\ast)$ como $$\exp(e^{2 i\omega t} \tfrac{m R^2 \omega}{\hbar}) \exp(e^{i \omega t}\tfrac{R m \omega}{\hbar} x ) \exp\left( -e^{i \omega t} R \frac{\partial}{\partial x} \right) (e^{i \omega t/2} \psi_0).$$

El exponencial de la diferenciación es la traslación, por lo que esto es $$\exp(e^{2 i\omega t} \tfrac{m R^2 \omega}{\hbar}) \exp(e^{i \omega t}\tfrac{R m \omega}{\hbar} x ) (e^{i \omega t/2} \psi_0(x-R e^{i \omega t})).$$

Uno puede entonces hacer un montón de trabajo traduciendo cada fórmula en su parte real y compleja, que omito. Al final, se obtiene una solución de la ecuación de Schrödinger que, a grandes rasgos, es como sigue $$e^{i A(t)} \exp\left(\tfrac{m \omega}{\hbar} \left[-(x-R \cos(\omega t))^2/2 - i R \sin(\omega t) x \right] \right).$$ Aquí $A$ es una gran función desordenada que no estoy dispuesto a resolver.

Este es el tipo de solución de haz gaussiano del que hablaba Terry: está localizado tanto en la posición como en el espacio de Fourier. En el espacio de posición, es una gaussiana centrada en $x=R \cos (\omega t)$ . En $\hbar \to 0$ (con $R$ fija), la gaussiana se hace cada vez más estrecha hasta que, en el límite, es una función delta en $R \cos (\omega t)$ -- la solución clásica al problema. Mientras tanto, el momento es una gaussiana centrada en $-m R \omega \sin(\omega t)$ . De nuevo, como $\hbar \to 0$ la gaussiana se convierte en una función delta en $-m R \omega \sin(\omega t)$ -- la solución clásica. (Por supuesto, usted podría ignorar toda la discusión sobre $a$ y $a^{\dagger}$ y comprobar directamente que así se resuelve la ecuación de Schrödinger. Si lo haces, por favor, hazme saber qué constantes me he dejado).

Si uno intenta tomar el $\hbar \to 0$ límite de algunas soluciones más simples, como los estados de energía pura, se agrupan en el origen mientras se extienden por todo el espacio de momento. Se necesita una solución moderadamente complicada como ésta para que ambos límites tengan sentido.

Concluiré señalando una forma heurística de pensar sobre $\exp(C a^{\dagger})$ . El coeficiente del $n$ -ésimo estado energético es $C^n/\sqrt{n!}$ (poniendo la constante de normalización correcta.) Entonces, si observamos la energía de esta partícula, tenemos probabilidad proporcional a $C^{2n}/n!$ de obtener la respuesta $(n+1/2) \hbar \omega$ . En otras palabras, la energía de esta partícula es un Variable aleatoria de Poisson con valor esperado $C^2 \hbar \omega+\hbar \omega/2$ . Enchufar para $C^2$ Esto es $m R^2 \omega^2/2+\hbar \omega/2$ . En $m R^2 \omega^2/2$ es la energía de la solución clásica. Así que esta solución puede considerarse como el mejor intento de imitar una energía de $m R^2 \omega^2/2$ cuando sólo tenemos acceso a los niveles discretos $n \hbar \omega$ .

Answer 3

Interpreto su pregunta como una indagación sobre una formulación matemática de la decoherencia cuántica, que es el proceso por el cual una traza parcial de la densidad mecánica cuántica operador $\hat\rho$ se reduce al espacio de fases clásico función $\rho$ .

Un caso sencillo en el que este proceso puede analizarse con mucho detalle matemático se describe en Decoherencia en un modelo de dos partículas (2001): Consideramos un sistema cuántico unidimensional simple formado por una partícula pesada y otra ligera que interactúan a través de una interacción puntual. El estado inicial se elige para ser un estado producto, con la partícula pesada descrita por una superposición coherente de dos paquetes de ondas espacialmente separados con momento opuesto y la partícula ligera localizada en la región entre los dos paquetes de ondas. Caracterizamos la dinámica asintótica del sistema en el límite de pequeña relación de masas, con un control explícito del error. Derivamos la correspondiente matriz de densidad reducida para la partícula pesada y calculamos explícitamente el efecto de decoherencia (parcial) para la partícula pesada inducido por la presencia de la ligera para una configuración particular de los parámetros.

Para los aspectos algebraicos, véase Una formulación algebraica de la decoherencia cuántica : Se introduce un formalismo algebraico para la decoherencia cuántica en sistemas con espectro de evolución continua. Una cierta subálgebra, densa en el álgebra característica del sistema, se define de tal manera que el teorema de Riemann-Lebesgue se puede utilizar para explicar la decoherencia en una base de puntero final bien definida.

Answer 4

Existe una interesante aproximación operatoria (espacio de Hilbert) a la mecánica clásica iniciada por Koopman y von Neumann: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0301172 (Topics in Koopman-von Neumann Theory, de D. Mauro). Dentro de este formalismo (o, más precisamente, en su versión integral funcional), la cuantización está misteriosamente asociada a la congelación a cero de dos socios grassmannianos del tiempo: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0308101 (Cuantización temporal y geométrica, por A.A. Abrikosov Jr, E. Gozzi y D. Mauro).

Answer 5

Quizás valga la pena añadir que Planck encontró "su" constante $h$ considerando un problema de muchos cuerpos.

En aquella época, era un método bastante habitual en la mecánica estadística dividir el espacio de fase físico en pequeños volúmenes de fase discretos ("celdas") y contarlos. Por lo tanto, la mecánica estadística de esta época ya contenía un procedimiento de doble límite, al dejar que el número de partículas $N \to \infty$ (y el volumen total $V \to \infty$ para obtener un límite termodinámico), y dejando que la unidad de volumen espacial de la fase discretizante $\nu \to 0+$ .

Desde un punto de vista actual, para obtener la mecánica estadística clásica de muchos cuerpos, primero se toma $N \to \infty$ en el límite termodinámico de la mecánica estadística cuántica, y luego $\hbar \to 0+$ después para obtener el límite (semi)clásico. Esto es en cierto sentido, y matemáticamente hablando desde un punto de vista actual, lo que descubrió Planck (sin decirlo). La mecánica estadística clásica se habría obtenido tomando primero el "límite (semi)clásico" $\hbar \to 0+$ y el límite termodinámico $N \to \infty$ después.

Una buena referencia es Longair: Theoretical Concepts in Physics, 2ndEd, 2003, capítulo 13 (véase también el capítulo 12).

También hay que entender que la física no es una ciencia formal, como las matemáticas, sino que su objetivo último es comprender los fenómenos reales. No existe ningún sistema de una sola partícula en ningún lugar del mundo. Sólo existen sistemas de muchos cuerpos. Considerar un sistema con una sola partícula o con un solo grado de libertad, etc., se deriva de los grandes procedimientos de reducción y de la teoría de perturbaciones.

El libro de Mecánica Cuántica de John von Neumann tiene un capítulo sobre el acoplamiento de la cantidad observada al entorno.

En forma elemetaria, el procedimiento para obtener modelos "físicamente tratables" es el siguiente. Se considera una determinada parte de la realidad y se intenta especificarla declarando una frontera, separando el "sistema observado" y el "entorno". Se toma un límite termodinámico para el entorno. Entonces podemos hablar de magnitudes intensivas como la temperatura. Estas magnitudes determinan un (uno o varios) estado de equilibrio del sistema observado. Hacemos una perturbación ansatz para el sistema observado considerando estados cercanos al equilibrio. Intentamos deshacernos de todas las interacciones detalladas del sistema observado con las "partículas" detalladas del entorno, considerando sólo interacciones promediadas con el entorno. En general, las ecuaciones obtenidas para un subsistema serían no locales (tanto en el espacio como en el tiempo). Localizamos cerca del equilibrio para obtener ecuaciones para nuestro subsistema observado. Los datos del entorno sólo entran a través de algunos parámetros (no demasiados). Aquí es donde empiezan la mayoría de los modelos de física.

Estas consideraciones también dejan claro por qué hay que tener en cuenta los estados mixtos (tanto en la mecánica estadística cuántica como en la mecánica estadística clásica) y no sólo los estados puros. Los numerosos procedimientos de promediación mencionados anteriormente proporcionarán en general un estado mixto para el subsistema observado, no un estado puro.

Los estados puros sirven principalmente para ayudar a modelizar y analizar algunos fenómenos, ya que los estados mixtos pueden escribirse, en general, como una combinación de estados puros.

Yo no consideraría que la mecánica cuántica "cuantiza" la mecánica clásica, porque no existe un procedimiento único clásico -> cuántico. Es más bien al revés, que los modelos de la mecánica cuántica tienen también un límite (semi)clásico.

Sería físicamente engañoso pensar que la cuantización geométrica o la cuantización por deformación son la respuesta a la pregunta de cómo modelar un sistema clásico cuánticamente. Básicamente, eso no es cierto. Los procedimientos de cuantización sólo ayudan a identificar qué tipo de modelos cuánticos podrían ser apropiados, y cuáles deben ser claramente descartados. El verdadero procedimiento en física consiste en adivinar un modelo mecánico cuántico (la mayoría de las veces por experiencia, y como combinación de modelos más sencillos que ya se comprenden) y comprobar mediante experimentos lo bien que describe la realidad. La mecánica clásica sólo ayuda a orientar el modelado, por ejemplo, mediante la geometría (por ejemplo, una geometría de fermiones indistinguibles no es tan fácil de visualizar...).

El pensamiento de los físicos es, en cierto sentido, opuesto al de los matemáticos. Un matemático suele tener un sistema de axiomas para el "caso general" y los especializa haciendo más suposiciones. En la modelización física de situaciones nuevas, básicamente no hay axiomas (salvo los muy generales), pero sí modelos muy concretos, que se han probado en situaciones específicas. Estos modelos se combinan después, como en un sistema de construcción modular. Esa es también la razón por la que los libros de texto de física casi nunca tienen axiomas, sino una plétora de ejemplos y ejercicios de cálculo. La modelización física en este sentido es "ascendente", mientras que el método de modelización de un matemático es más bien "descendente". Los matemáticos modelan sólo en situaciones en las que la física ya se ha establecido, por ejemplo, tomando las ecuaciones generales ya conocidas de la mecánica continua y especificándolas mediante la elección de las constantes materiales (o funcionales) apropiadas. La modelización física suele producirse en situaciones en las que se desconocen las "ecuaciones generales", por lo que no pueden adaptarse a la situación específica.