Un anillo isomorfo a sus anillos polinómicos finitos pero no a su infinito.

Question

Estaba jugando con el anillo $k[x_1,\dots,x_n,\dots]$ de polinomios en muchas variables numerables para resolver un ejercicio de Atiyah, y se me ocurrió la siguiente pregunta y me picó la curiosidad:

¿Existe un anillo unitario conmutativo $A$ isomorfo de $A[X]$ pero no isomorfo a $A[x_1,\dots,x_n,\dots]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $A$ y numerable muchas variables?

Answer 1

Sea $\Gamma$ sea el conjunto de secuencias $a_1 a_2 a_3 \cdots$ de enteros no negativos que eventualmente son constantes. Un elemento típico de $\Gamma$ parece $3921726666666\cdots$ . Tenga en cuenta que $\Gamma$ es un semigrupo conmutativo bajo adición. Sea $A$ sea el álgebra de semigrupos $\mathbb{Z}[\Gamma]$ . Afirmo que $A \cong A[t]$ pero $A \not \cong A[t_1, t_2, t_3, \ldots]$ .

El semigrupo $\Gamma$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_{\geq 0} \times \Gamma$ por el mapa $a_1 a_2 a_3 \cdots \mapsto (a_1, a_2 a_3 \cdots)$ . Así que $\mathbb{Z}[\Gamma] \cong \mathbb{Z}[\Gamma \times \mathbb{Z}_{\geq 0}]$ o, en otras palabras, $A \cong A[t]$ .

Sea $z$ denota la secuencia $11111\cdots$ y que $x_i$ denota la secuencia $000\cdots01000\cdots$ con el único $1$ en el $i$ posición. Obsérvese que $\Gamma$ se incrusta en el grupo abeliano libre generado por $z$ y el $x_i$ Así que $A$ se incrusta en el anillo polinómico de Laurent $\mathbb{Z}[z,x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm},\ldots]$ . En particular, $A$ es un dominio integral. En esta notación, el isomorfismo $A \to A[t_1, t_2, \ldots, t_k]$ envía $z \mapsto z t_1 t_2 \cdots t_k$ ; envía $x_i \mapsto t_i$ para $i \leq k$ y $x_i \mapsto x_{i-k}$ para $i >k$ .

Ahora, supongamos que $\phi$ es un mapa $A \to A[t_1, t_2, \ldots ]$ con $\phi(z)$ distinto de cero. Demostramos que $\phi(A) \subseteq A[t_1, t_2, \ldots, t_N]$ para algunos $N$ . En particular, $\phi$ no es un isomorfismo.

Elija $N$ lo suficientemente grande como para que $\phi(z) \in A[t_1, t_2, \ldots, t_N]$ . Desde $\phi(x_i)$ divide $\phi(z)$ y $A$ es un dominio, también debemos tener $\phi(x_i) \in A[t_1, \ldots, t_N]$ . Para cualquier $\gamma$ en $\Gamma$ escribe $\exp(\gamma)$ para el elemento correspondiente de $A$ . Para cualquier $\gamma \in \Gamma$ tenemos $\prod_{i=1}^M x_i^{b_i} \exp(\gamma) = \prod_{i=1}^M x_i^{c_i} \cdot z^d$ para un valor suficientemente grande de $M$ y algunos $d$ . Por lo tanto, $\phi(\exp(\gamma))$ puede escribirse como un cociente de $\prod_{i=1}^M \phi(x_i)^{c_i} \cdot \phi(z)^d$ y $\prod_{i=1}^M \phi(x_i)^{b_i}$ ambos en $A[t_1, \ldots, t_N]$ (utilizando de nuevo que $A$ es un dominio). Así que $\phi(\exp(\gamma)) \in A[t_1, \ldots, t_N]$ . Desde el $\exp(\gamma)$ son un $\mathbb{Z}$ base para $A$ Esto demuestra que $\phi(A) \subseteq A[t_1, \ldots, t_N]$ .