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Un anillo isomorfo a sus anillos polinómicos finitos pero no a su infinito.

Estaba jugando con el anillo k[x1,,xn,] de polinomios en muchas variables numerables para resolver un ejercicio de Atiyah, y se me ocurrió la siguiente pregunta y me picó la curiosidad:

¿Existe un anillo unitario conmutativo A isomorfo de A[X] pero no isomorfo a A[x_1,\dots,x_n,\dots] el anillo de polinomios con coeficientes en A y numerable muchas variables?

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Chris Benard Puntos 1430

Sea \Gamma sea el conjunto de secuencias a_1 a_2 a_3 \cdots de enteros no negativos que eventualmente son constantes. Un elemento típico de \Gamma parece 3921726666666\cdots . Tenga en cuenta que \Gamma es un semigrupo conmutativo bajo adición. Sea A sea el álgebra de semigrupos \mathbb{Z}[\Gamma] . Afirmo que A \cong A[t] pero A \not \cong A[t_1, t_2, t_3, \ldots] .

El semigrupo \Gamma es isomorfo a \mathbb{Z}_{\geq 0} \times \Gamma por el mapa a_1 a_2 a_3 \cdots \mapsto (a_1, a_2 a_3 \cdots) . Así que \mathbb{Z}[\Gamma] \cong \mathbb{Z}[\Gamma \times \mathbb{Z}_{\geq 0}] o, en otras palabras, A \cong A[t] .

Sea z denota la secuencia 11111\cdots y que x_i denota la secuencia 000\cdots01000\cdots con el único 1 en el i posición. Obsérvese que \Gamma se incrusta en el grupo abeliano libre generado por z y el x_i Así que A se incrusta en el anillo polinómico de Laurent \mathbb{Z}[z,x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm},\ldots] . En particular, A es un dominio integral. En esta notación, el isomorfismo A \to A[t_1, t_2, \ldots, t_k] envía z \mapsto z t_1 t_2 \cdots t_k ; envía x_i \mapsto t_i para i \leq k y x_i \mapsto x_{i-k} para i >k .

Ahora, supongamos que \phi es un mapa A \to A[t_1, t_2, \ldots ] con \phi(z) distinto de cero. Demostramos que \phi(A) \subseteq A[t_1, t_2, \ldots, t_N] para algunos N . En particular, \phi no es un isomorfismo.

Elija N lo suficientemente grande como para que \phi(z) \in A[t_1, t_2, \ldots, t_N] . Desde \phi(x_i) divide \phi(z) y A es un dominio, también debemos tener \phi(x_i) \in A[t_1, \ldots, t_N] . Para cualquier \gamma en \Gamma escribe \exp(\gamma) para el elemento correspondiente de A . Para cualquier \gamma \in \Gamma tenemos \prod_{i=1}^M x_i^{b_i} \exp(\gamma) = \prod_{i=1}^M x_i^{c_i} \cdot z^d para un valor suficientemente grande de M y algunos d . Por lo tanto, \phi(\exp(\gamma)) puede escribirse como un cociente de \prod_{i=1}^M \phi(x_i)^{c_i} \cdot \phi(z)^d y \prod_{i=1}^M \phi(x_i)^{b_i} ambos en A[t_1, \ldots, t_N] (utilizando de nuevo que A es un dominio). Así que \phi(\exp(\gamma)) \in A[t_1, \ldots, t_N] . Desde el \exp(\gamma) son un \mathbb{Z} base para A Esto demuestra que \phi(A) \subseteq A[t_1, \ldots, t_N] .

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