¿Cuál es la cohomología equivalente de un grupo que actúa sobre sí mismo por conjugación?

Question

Esta pregunta tiene sentido para cualquier grupo topológico $G$, pero me gusta saber la respuesta a $G$ un compacto, conectado Mentira grupo.

$G$ actúa sobre sí mismo por conjugación. Uno tiene la equivariant singular cohomology $H^{\ast}_G(G) = H^{\ast}( (G\times EG)/G )$, con coeficientes enteros, dicen.

¿Qué es $H^{\ast}_G(G)$?

Concretamente, $H^{\ast}_G(G)$ es el objetivo de la Serre espectral de la secuencia de los fibration $$G \hookrightarrow (G\times EG)/G \to BG.$$ Al $G$ es la ruta de acceso conectado, por lo que el $BG$ es simplemente conectado, este espectro de la secuencia de ha $E_2^{p,q}=H^p(BG; H^q(G))$ (trivial del sistema local). ¿La secuencia espectral siempre degeneran en $E_2$? Cuando se $G$ es abelian, porque entonces la conjugación de la acción es trivial.

Answer 1

Me preguntó Dan Freed, quien dio un muy limpio solución general a este problema (como se esperaba). Aquí es (todos los errores en la transcripción son mías, por supuesto).

El reclamo es que el equivariant cohomology de G actuando en G es de hecho el producto tensor de cohomology de BG con cohomology de G - en otras palabras, el Leray espectral de la secuencia de los fibration $G=\Omega BG \to G/G=LBG \to BG$ degenera en E_2. Para ver esto vamos a utilizar el Leray-Hirsch teorema -- es decir, si se puede demostrar que cada una de las clases en la fibra (G) se extiende a una clase en el espacio total (LBG) a continuación vamos a hacer. Ahora el cohomology de G generado (como un exterior álgebra) por sus primitivos clases, y todas ellas proceden de los generadores de la cohomology de BG por la transgresión. Tan sólo tenemos que demostrar que estas transgredido las clases en realidad eleva a LBG.

Pero hay un bonito directos en la construcción de estas clases en LBG. Es decir, utilizamos la tautológica correspondencia $$LBG \leftarrow S^1\times LBG \rightarrow BG$$ donde la flecha de la derecha es la evaluación del mapa. Así, dada una clase en BG se puede levantar a $S^1 \times LBG$ y, a continuación, integrar a lo largo del círculo para obtener una clase en $LBG$. Cuando restringimos estas clases a una fibra, es decir,$G=\Omega BG$, podemos recuperar la costumbre, la transgresión de la construcción. (Esto puede ser visto de manera muy explícita con formas diferenciales.. la transgresión implica el camino fibration $$\Omega BG \to P(BG) \to BG$$ y es dada por el mismo tipo de tautológica/evaluación de la construcción de un mapa de los tiempos de intervalo de la ruta de espacio para BG, integrando en un intervalo.. cuando se limita a $\Omega BG$, es decir, los trazados cerrados, esta integración se convierte en la integración sobre el círculo que había anteriormente.)

Así que hemos explícitamente levantado todos los generadores de la cohomology de G a equivariant clases, es decir, G/G, por lo tanto estamos hecho. (Es de suponer que esto también puede ser visto de manera concreta en el modelo de Cartan, que los generadores de H^*G levante la conjugación-equivariant clases..)

Answer 2

Es bien conocido teorema folk que hay un homotopy equivalencia entre el $(G\times EG)/G$ donde $G$ hechos por la conjugación, y el bucle libre el espacio de BG. Mi favorito personal es la prueba debido a Kate Gruher, en el apéndice de su tesis doctoral (universidad de Stanford, 2007). También hay una prueba en el apéndice a de un reciente libro de Klein, Schochet, y Smith (arXiv:0811.0771). El cohomology de la libre bucle espacio ha sido estudiado bastante en muchos de los casos. Este KSS papel podría tener alguna información útil para usted.

Como dijo Pablo, este fibration tiene una sección, dada por la constante de bucles en el caso de que el bucle libre el espacio modelo, o mediante el envío de $x\in BG$ a la par $(1, \widetilde{x}) \in G\times EG$ donde $\widetilde{x}$ es cualquier punto se encuentra por encima del $x$. Esto está bien definido desde $1\in G$ se fija en virtud de la conjugación.

Answer 3

El cochains en G/G puede ser calculado como el Hochschild cochains de cochains en BG (esto utiliza la compacidad de la G - obtendríamos una especie de doble imagen con Hochschild cadenas si nos fijamos en bucles libres en un número FINITO de CW complejo en lugar de BG). Ahora, permítanme hacer algo tal vez mal y de ignorar la clasificación. Entonces tenemos un polinomio de álgebra, que es de las funciones en el Chevalley espacio vectorial h/W. Su Hochschild cochains puede ser calculado como se haría para cualquier liso afín variedad como polyvector campos. Desde la tangente paquete es trivial obtenemos el producto tensor de polinomios en h/W con el exterior álgebra en el espacio de la tangente h/W. Ahora recordando la clasificación vemos precisamente el cochains en BG tensor de la cochains en G (esta última exterior álgebra). (Estoy suponiendo que G está conectado y simplemente conectado sólo para estar seguro). Yo creo que esto es todo kosher algebraicamente - la muleta de el uso de la HKR teorema para el buen afín variedades es sólo una manera de evitar la realidad, la escritura de la cíclico complejo bar y el cálculo de HH, pero el resultado es el mismo..

EDIT: Esta discusión (en particular, la petición de HKR) es racional cochains.. no sé qué pasa con la torsión. También estoy ignorando finalización de problemas (relacionados con la omisión de la calificación), no sé cómo fatales son. Es probable que sea mejor pensar en cochains en G/G como Hochschild cochains de el álgebra de las cadenas en G en virtud de convolución, pero creo que la respuesta viene de la misma.

Answer 4

Con respecto a algunos de los comentarios hacia la parte inferior de David Ben-Zvi y Tim Perutz: usted puede conseguir alrededor de algunos finito de restricciones dimensionales. Específicamente, existe una interpretación de la Hochschild cohomology de $C^*(BG)$ en términos de cadena de topología. Es decir, se trata de un límite inversa de la homología de un pro-objeto que se aproxima a la libre bucle espacio de $BG$ por finito dimensionales colectores. Como insinúa por Dan Ramras comentarios, mucho de esto viene de Kate Gruher del trabajo. Este comentario se explica en detalle en un documento de la suya y la mía: arXiv:0710.1445.

Answer 5

Para cualquier interesado los rezagados que de alguna manera descubrir esta cuestión en el futuro, he encontrado una muy baja tecnología de respuesta, el arranque de la low-tech respuesta a Es una Mentira grupo equivariantly formal en virtud de la conjugación por un máximo de toro?.

De todos modos, una vez que usted cree que la conjugación de acción sobre un compacto de Lie del grupo de $G$ de su máxima torus $T$ es equivariantly formal, de ello se sigue que la acción de la $G$ por la conjugación es así. Este argumento funciona para cualquier razonablemente buen espacio de $M$ en que $G$ actos y el restringido $T$-acción es equivariantly formal, porque uno tiene $$H_G(M) = H_T(M)^W = (H(M) \otimes H(BT))^W = H(M) \otimes H(BT)^W = H(M) \otimes H(BG)$$ as $H(BT)$-modules, where $W = N_G(T)/T$ is the Weyl group of $G$.

Si, por ejemplo, no comprar que la acción de la $W$ a $H(M)$ es trivial, más la prueba va de esta.

$\require{AMScd}$

El homotopy cociente $M_G$ es un cociente de $M_T$, y la proyección de $EG \times M \to EG$ induce a continuación, un diagrama conmutativo

\begin{CD} M @= M\\ @VVV @VVV\\ M_T @>>> M_G\\ @VVV @VVV\\ BT @>>> BG \end{CD}

donde la vertical superior mapas son inclusiones de fibra.

La proyección de $BT = EG/T \to EG/G = BG$ induce una inclusión $H(BG) \cong H(BT)^W \hookrightarrow H(BT)$ en cohomology, y hay inducida por los mapas tanto en cohomology y en la Serre espectral de secuencias para el equivariant cohomologies, a partir de esta $E_2$ página:

\begin{CD} H(M) @= H(M)\\ @AAA @AAA\\ H(M) \otimes H(BT) @<<< H(M) \otimes H(BG)\\ @AAA @AAA\\ H(BT) @<<< H(BG) \end{CD}

Debido a que la parte superior e inferior horizontales mapas son inyectiva, por lo que es la media, por lo que el diferencial de la espectral sucesión convergente a $H_G(M)$ son restricciones de los de $H_T(M)$. Pero los diferenciales de $H_T(M)$ son todos cero, por equivariant formalidad, por lo que el espectro de la secuencia de $H_G(M)$ se derrumba tan bien.