Argumento heurístico para la hipótesis de Riemann

Question

¿Existe un argumento heurístico que respalde la validez de la hipótesis de Riemann o solo confiamos en la evidencia numérica? Además, ¿cuál es el teorema más fuerte que respalda la validez de RH?

Answer 1

La hipótesis de Riemann es cierta, si los primos son aleatorios de ciertas maneras.

Answer 2

Hay muchos resultados teóricos que apoyan la (generalizada) hipótesis de Riemann:

• cero estimaciones de densidad para los ceros de ciertos $L$-funciones
• infinitamente muchos ceros en la línea crítica de ciertos $L$-funciones
• nonnegativity de la central de valor de determinados $L$-funciones
• subconvex límites para ciertos $L$-funciones
• fuerte límites inferior y superior para ciertos momentos de cierta $L$-funciones
• el (comprobado) hipótesis de Riemann para la $L$-funciones de variedades algebraicas sobre campos finitos

y así sucesivamente. Cada uno de estos elementos es un tema de investigación por su propia cuenta, con cientos de artículos. El uso de Google, Wikipedia, MathSciNet etc. para aprender más acerca de ellos.

Answer 3

El campo de función modelo entró en GH de MO respuesta y, a continuación, también en user54038 del. Sólo quiero añadir algún detalle para explicar lo bueno de una analogía con el campo de función es un modelo.

La Riemann zeta función no está solo, sino que es el más simple de los miembros de una de las series más amplias de las clases de zeta y $L$-funciones de profunda relevancia en la teoría de los números - entre ellos Dedekind zeta funcitons, Dirichlet $L$-funciones, Hecke $L$-funciones, Artin $L$-funciones de curva elíptica $L$-funciones, automorphic $L$-funciones. (Más precisamente, cada uno de estos se dividen en dos clases, las que están a la motivic $L$-funciones y la automorphic $L$-funciones, que se conjetura más o menos de acuerdo, por lo que también se puede decir que hay una sola clase de $L$-funciones con muchos interesantes sub-clases). Para todos estos, la hipótesis de Riemann ha conjeturado.

Hay directo análogos de todos estos en la función de ajuste de campo, con las interrelaciones entre ellos, básicamente, la misma. La hipótesis de Riemann fue demostrado por todos ellos - la primera pareja por Weil, los que más tarde por Deligne, y el automorphic de Drinfeld, L. Lafforgue, y V. Lafforgue.

Además de las propiedades conocidas y conjeturó de estos zeta y $L$-funciones, en particular los que tienen que ver con la distribución de los ceros, coinciden en directo maneras. Hasta donde yo sé, todos los resultados conocidos sobre la distribución de los ceros de $\zeta$ e $L$-funciones puede ser demostrado también sobre la función de los campos esencialmente por los mismos argumentos, y mucho más fuerte extensiones de estos resultados, el ajuste de lo que se conjetura sobre $\mathbb Q$, son conocidos en la "gran $q$ aspecto".

Así que la función de campo de verificación de la hipótesis de Riemann no es solo una analogía entre dos funciones, pero una web de relacionados con las analogías que todos parecen muy congruentes el uno con el otro.

Answer 4

No estoy seguro de que esta es una respuesta para su pregunta. Lo siento de antemano si no lo es.

Otras respuestas que se dieron algunos buenos ejemplos de la heurística de los argumentos que apoyan la RH. Pero quiero apuntar una heurística resultado que pone serias dudas sobre ella. Ya no estoy tan familiarizado con los detalles técnicos, es mejor citar directamente de esta respuesta:

El De Bruijn-Newman constante $\Lambda$ fue definida y superior delimitada por $\Lambda\le\frac{1}2$ en 1950. Después de 58 años de trabajo, en el 2008, este límite superior finalmente fue mejorado para... $\Lambda<\frac{1}2$ (un 0% de mejora) en un 26-página de papel. La mejor conocida límite superior es en la actualidad $\Lambda<0.22$. La hipótesis de Riemann era conocido por ser equivalente a $\Lambda\le 0$, lo que si es cierto, entonces tenemos muchas maneras de ir.

Pero Terrence Tao y Brad Rogers se ha demostrado recientemente que $\Lambda\ge 0$. Así que en el Tao de la palabras (en realidad, palabras de Newman citado por Tao):

Si la hipótesis de Riemann es verdad, entonces 'apenas' true.

Answer 5

Además de todos los teoremas ya mencionados, me gustaría agregar el teorema de Bombieri-Vinogradov. Esto puede considerarse aproximadamente como una versión promedio de la Hipótesis de Riemann Generalizada y, por lo tanto, brinda un fuerte apoyo para GRH. Más aún, en muchas pruebas se puede usar para reemplazar la Hipótesis de Riemann y hacer que los teoremas sean incondicionales.