Se conjetura que la cohomología de las variedades Shimura y Drinfeld shtukas se da cuenta de las representaciones buscadas en el programa / conjeturas de Langlands, la cohomología de las variedades Deligne-Lusztig realiza representaciones de los grupos clásicos sobre campos finitos: ¿Cómo encontraron las personas esas variedades?
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Con respecto a Shimura variedades:
Uno tiene que considerar en primer lugar el caso de modular las curvas, el cual ha servido a lo largo de un impulso y la inspiración para la teoría general.
El estudio de modular las curvas (en varias formas) se remonta al siglo 19, con el trabajo de Jacobi y otros en congruencias (que desde un punto de vista moderno son explícitas de ecuaciones para las curvas modulares $X_0(N)$). El hecho de que estas curvas se definen en $\mathbb Q$ (o incluso $\mathbb Z$) también vuelve (en alguna forma) para el siglo 19, en la medida en que nos dimos cuenta de que congruencias tienen racional o coeficientes enteros. También existe la (fuertemente relacionado con el hecho de que muy interesante modular funciones/formas racional, integral o $q$-coeficientes de dilatación. Por último, están los hechos relacionados con Kronecker del Jugendtraum, que modular las funciones/formas con la forma de los coeficientes de Fourier, cuando se evaluó en cuadrática imaginario puntos en la mitad superior del plano -, dar números algebraicos acostado en abelian extensiones de cuadrática imaginario campos. Estos todos se remontan al siglo 19 en diversas formas, aunque las teorías o interpretaciones/explicaciones no fueron conocidos hasta bien entrado el siglo 20.
La idea de que la cohomology de modular las curvas sería Galois en teoría muy interesante, es más reciente. Creo que se remonta a Eichler, con Igusa, Ihara, Shimura, Serre y, a continuación, Deligne todos desempeñan un papel importante. Parece ser no trivial para rastrear la historia, en parte porque la idea intuitiva parece preceder a la introducción formal de etale cohomology (que es necesario para hacer que la idea sea totalmente precisa y general). Por lo tanto Ihara del trabajo considera zeta-funciones de modular las curvas (o de la Kuga--Satake variedades encima de ellos) en lugar de cohomology. (La zeta-función es una manera de encarnar la información realizada en cohomology sin hablar directamente acerca de cohomology). Shimura trabajado sólo con el peso de dos formas modulares (relativa a la cohomology con coeficientes constantes), y en lugar de hablar directamente acerca de etale cohomology trabajado con el Jacobians el sistema modular de curvas. (Explicó cómo los operadores de Hecke romper el Jacobiana en un producto de abelian variedades conectado a Hecke eigenforms.) [Añadido: De hecho, Debo añadir que Shimura también tuvimos una discusión, a través de congruencias, que redujo el estudio de cohomology conectado a un mayor peso de los formularios para el caso del peso de dos formas; esto fue elaborado por Ohta. Estos tipos de argumentos fueron redescubiertas y desarrollado por Hida, y desde entonces han sido utilizados por muchas personas para relacionar las formas modulares de diferentes pesos uno con el otro.]
La idea básica, que debe haber sido comprendido en alguna forma por todas estas personas, es que un determinado Hecke eigenform $f$ contribuye de dos dimensiones a cohomology, representado por las dos formas diferenciales $f d\tau$ e $\overline{f}d\tau$. Por lo tanto Hecke subespacios propios en cohomology de modular las curvas son de dos dimensiones. Desde los operadores de Hecke se definen en $\mathbb Q$, estos subespacios propios son conservados por el Galois de acción en etale cohomology, y así obtenemos dos dimensiones de Galois reps. apegados a las formas modulares.
Como tengo entendido, Shimura la introducción de general Shimura variedades creció fuera de pensando en la teoría modular de curvas, y en particular, en la manera en que la teoría de la interactuado con la teoría de los complejos de multiplicación de curvas elípticas. En particular, él y Taniyama desarrolló la teoría general de la CM abelian variedades, y era natural para tratar de integrar más general de la teoría a la teoría de los módulos de los espacios de la generalización de las curvas modulares. Un particular desafío era tratar de dar un sentido a la idea de que el variedades resultantes (es decir, Shimura variedades en terminología moderna) había modelos canónicos sobre el número de campos. Esto ya no podía ser realizado por el estudio de la racionalidad de $q$-expansiones (ya que podría ser compacto, dicen, y por lo tanto no tienen cúspides, alrededor del cual se forma de Fourier las expansiones). Shimura introdujo el Shimura ley de la reciprocidad, es decir, la descripción de la Galois de acción en el especial de puntos (los puntos correspondientes a CM abelian variedades) como la herramienta básica para la caracterización y el estudio de la racionalidad de las preguntas para Shimura variedades.
En particular, Shimura variedades fueron introducidas antes del desarrollo del programa de Langlands, y por otras razones que la construcción de representaciones de Galois. Sin embargo, una vez que uno ha tenido estas variedades, naturalmente, definida sobre los campos de número, y teniendo sus orígenes en la teoría algebraica de los grupos y automorphic formas, era natural para tratar de calcular sus zeta-funciones, o, más en general, para calcular la Galois de acción en su cohomology, y Langlands convertido a este problema en la década de 1970. (Por cierto, a mi entender, es que fue él quien introdujo la terminología Shimura variedades.) La primera pregunta que se trató de contestar fue: número de dimensiones que hace un determinado Hecke subespacio propio de contribuir a la cohomology. Él se dio cuenta de que la respuesta a esta --- al menos normalmente --- fue dado por Harish-Chandra de la teoría de (lo que se llama ahora) discretas serie $L$-paquetes, como se explicó en su cartas a Lang; la relación de la resultante de representaciones de Galois para el programa de Langlands no es obvio --- en particular, no es evidente cómo el dual grupo interviene --- y este (es decir, la intervención de la doble grupo) es el tema principal de las letras a Lang. Estas cartas a Lang son sólo el comienzo de la historia, por supuesto. (Por ejemplo, la típica situación no ocurre siempre; no es el fenómeno de la endoscopia. Y luego está el problema de la realidad, demostrando que la Galois de acción en cohomology da lo que uno espera de él!)
Con respecto a Drinfeld y Deligne--Lusztig variedades:
He estudiado estos casos en mucho menos detalle, pero creo que que Drinfeld fue inspirada por el caso de Shimura variedades, y (como Jim Humphreys ha señalado) Deligne--Lusztig drew insipration de Drinfeld.
¿Qué se puede concluir:
Estas teóricamente intrincado objetos que surgió de un largo y complejo de la historia, con múltiples motivaciones de la conducción de su creación y la investigación de sus propiedades.
Si usted quiere encontrar un unificador (no necesariamente histórico) el tema, uno podría también tenga en cuenta que Deligne--Lusztig variedades se construyen fuera de la bandera de las variedades en un cierto sentido, de hecho, en lo cerrado de las regiones de la bandera de variedades, y que Shimura variedades son también construido (en el sentido de que son los cocientes de) simétrica espacios, que a su vez se abra regiones (parcial) de la bandera de variedades. Esto sugiere un conocido conclusión, a saber, que la geometría de la reductora grupos y en los diferentes espacios asociados a ellos parece estar muy rico.
Kevin Ballard
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La construcción de Deligne-Lusztig representaciones es un análogo natural de la construcción de discretos serie de representaciones de los verdaderos grupos, y de la siguiente manera muy general la filosofía (asociado creo que con Gelfand y Kazhdan y, probablemente, también conocido Drinfeld en el tiempo) que todas las representaciones de la reductora grupos sobre cualquier campo son "formas de principal de la serie".
Es decir, aprendemos de Harish Chandra y Gelfand--Graev--Piatetskii-Shapiro la idea de que las representaciones de un reductor de grupo "siempre están" etiquetados por conjugacy clases de tori y personajes de la última (hasta Weyl grupo de simetría). ¿Cómo podemos construir estas representaciones? La torsión caso es director de la serie, es decir, el caso de una división de toro. Entonces se supone que vamos a realizar parabólico de inducción: mira la gran G-representación de funciones (o alguna forma de cohomology) en el espacio total de la natural toro bundle $G/N\to G/B$ sobre la bandera de la variedad y se descomponen de acuerdo con el toro de acción a lo largo de las fibras (que conmuta con G). La teoría de la (estándar/director de la serie), entrelazando los operadores se da cuenta de un grupo de Weyl simetría en estos inducida por las representaciones.
La filosofía (que se explica bellamente por Kazhdan en diversos lugares, tales como su ICM dirección) es que todos los otros "serie" se da como "formas" de la principal de la serie-es decir más de la algebraicas cierre de uno sólo tiene como principal de la serie. Poner más poéticamente, el doble de G debe tener una estructura algebraica, por lo que las representaciones más diversos campos, puede ser especificado por el descenso de los datos de las representaciones sobre el campo de las extensiones, así que al final del día ellos vienen de principal de la serie. Sobre su campo dado que prescribir una clase conjugacy de tori por el descenso de datos, que es una clase conjugacy de Weyl grupo de representaciones de Galois grupo. Así por ejemplo, durante R sólo necesitamos una clase conjugacy de involuciones en el grupo de Weyl, sobre un campo finito podemos tomar cualquier clase conjugacy en el grupo de Weyl, etc. Ahora, la idea (aún no plenamente en sus óptima de la fuerza), es que debemos giro principal de la serie durante la clausura algebraica utilizando el "Weyl grupo de acción por intertwiners" para definir el deseado serie de representaciones sobre el campo.
En cualquier caso, esta idea tiene una muy concreta geométricas realización. Recordar principales de la serie son las funciones o cohomologies de un toro paquete sobre la bandera de la variedad. Ahora, dado un campo k (para simplificar, suponga que el grupo de Galois es cíclica, por ejemplo, la real o finito campos) podemos descomponer la bandera de la variedad sobre la clausura algebraica de k en una colección de G(k) invariante subconjuntos, mirando las banderas que están en una determinada posición relativa (un elemento de $W$) con sus Galois se traduce. En el caso de $SL_2(R)$ esto nos da la descomposición de la $CP^1$ a $RP^1$ y el superior+inferior a la mitad de los aviones. En el campo finito caso de que estas sean Deligne-Lusztig variedades. Este es un trenzado de k-versión de G/B, y tiene una versión natural de G/N sobre él, que es un torsor de, precisamente, el k-toro, hemos especificado antes por el mismo elemento del grupo de Weyl. Así podemos observar en las funciones/cohomologies trenzado por parte de los personajes de este toro, la búsqueda de una serie de representaciones tal como lo predice la Harish Chandra. El director de la serie corresponde a la bandera de la variedad sobre k. Para $SL2R$ (un ejemplo real de un grupo compacto de toro) recuperamos el discretos de la serie (aunque la nota de la representación construida de esta manera, no es irreducible, ya que estamos considerando mitad superior e inferior de los aviones juntos).
Mike Schall
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Este es un comentario extendido, ciertamente no es una respuesta a la muy amplio y tal vez irrefutable de múltiples partes que se plantea aquí ("¿Cómo la gente a encontrar esas variedades?"). Una graciosa respuesta podría ser: "Con gran dificultad y gran ingenio." Pero la pregunta es ciertamente interesante, y algún día podrían inspirar una monografía de un experto matemático profundamente interesado en la historia de finales del siglo 20 en matemáticas. Si esta persona va a existir, es una pregunta abierta.
Sobre el 1976 Anales de papel por Deligne y Lusztig, que proporcionan una cierta cantidad de la discusión de fondo en su segunda sección, junto con una declaración muy breve: Nuestro trabajo ha sido inspirado por los resultados de Drinfeld, que demostró que la discreta serie de representaciones de $SL_2(\mathbb{F}_q)$ ocurren en la cohomology de los afín a la curva de $xy^q - x^q y =1$.
Mientras que la obra clásica por Frobenius, Schur, y otros, se dio cuenta de que el carácter de las tablas de estos grupos con la ortogonalidad de las relaciones y de las técnicas de inducción, nunca hubo una explícita la realización de las representaciones irreducibles normalmente de grado $q-1$ (que ahora se llama la "discreción de la serie" por analogía con la Mentira caso del grupo). Lusztig hizo una primera investigación de este tipo de representaciones de finito lineal general de los grupos en sus 1974 Anales de Matemáticas de los Estudios de papel, motivado en parte por el hito de la combinatoria de 1955 papel por J. A. Green (brevemente Warwick colega). Ian Macdonald había propuesto una versión general de los resultados en los que el papel de otros grupos finitos de tipo de Mentira, que Lusztig hizo el primer ataque serio en.
Mientras tanto, ha habido una fuerte tendencia hacia el traducir grupo de acciones en (a menudo proyectiva) variedades en los lineales de las representaciones de los grupos (a menudo finito dimensionales) cohomology espacios. Así que una gran parte de la historia se reunía en la década de 1970 para fomentar el enfoque de Deligne y Lusztig. Aquellos que quieran obtener al menos algún conocimiento de Lusztig del punto de vista debe tomar un vistazo de cerca a sus propios comentarios en sus artículos 17, 18, 22: consulte a su MIT página web aquí (con un enlace directo a su actualizado comentarios, ahora publicado en arXiv).
P. S. David profundos de perspectiva, me induce a añadir un par de comentarios acerca de la torpeza que me hicieron en la década de 1970 a partir de una dirección completamente diferente basada en la insuficiencia de métodos algebraicos. (En el momento en que yo sabía poco sobre la Mentira del grupo de representaciones y menos acerca de la moderna geometría algebraica.) Para grupos finitos de tipo de Mentira, ya era un problema para entender los dos grandes series de (en su mayoría irreductible) caracteres de $SL_2(\mathbb{F}_q)$, después de haber grados $q+1, q-1$: "principal" y "discreta" de la serie. El director de la serie es de fácil construcción por inducción a partir de un Borel subgrupo, pero el origen de la discreta serie es misterioso.
Después de la reducción de mod $p$ de estos personajes (con $q$ un poder de $p$), era obvio que ambas series se exhiben aproximadamente el mismo comportamiento. Por otra parte, este paralelo de cerca el comportamiento de la "bebé" Verma módulos para el álgebra de Lie asociada algebraica de grupo (usando para las potencias de $p$ la mayor Frobenius kernels). En este ejemplo, todos los módulos tienen la dimensión de $q$, con mayor peso de la composición de los factores relacionados por "vinculación" en virtud de un afín Weyl grupo relativo a $p$. Me convencí de que en general lo que he denominado "deformación" de la vinculación de las clases realizadas todas las series de los personajes de un grupo finito aspecto esencialmente el "mismo"; en 1980 Jantzen había hecho este formalismo precisa. Pero mientras tanto Deligne-Lusztig había encontrado una más profunda intrínseco para entender lo finito grupo de personajes. Para mí la principal moral es el increíble unidad encontrado a lo largo de la Mentira de la teoría.
