Necesita encontrar ejemplo para no abelian grupo $G$ que $A \subset G,\;A=\{g\in G \mid g^{-1}=g\}$ es no un subgrupo de $G$.
Puede usted por favor me ayuden a encontrar una $G$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tome $S_3$, el grupo simétrico de permutaciones en $\{1, 2, 3\}$:
Deje $A$ ser el conjunto de todos los elementos de a $g \in S_3$ tal que $g = g^{-1}$:
A continuación,$A = \{e = (1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)\} \subset S_3 = \{(1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)\}$.
$A$ contiene la identidad de permutación $(1) = e$, y a cada elemento en $A$ es su propio inverso, por definición de $A$.
Sin embargo, $(1, 3)(2, 3) = (1, 3, 2) \notin A$, lo $A$ deja de ser un subgrupo de $S_3$ porque no es cerrado bajo la permutación de la composición (que es el grupo de operación $S_3$).
Edit: de Hecho, como Jacob señala en un comentario más abajo, $|A| = 4,\,$, mientras que de $\,6 = |S_3|$, así que por Lagrange del Teorema, ya que $4$ no dividir $6$, $A \nleq S_3$.
user56747
Puntos
1
clark
Puntos
5754
El primer no-abelian que aprender, al menos, he aprendido es $S_n$ el grupo simétrico. Ok vamos a empezar desde aquí.
La relación $g^2=e$ significa que $A$ contienen todos los $2$-elemento de swaps. Ahora sabemos que cualquier permutación puede ser escrito como una composición de $2$-elemento de intercambio de permutaciones.
Por lo tanto si fue cerrada en virtud de composición, es decir, una propiedad de un grupo, a continuación, $A$ sería igual a$S_n$, pero ahora sabemos que $S_n$ tiene elementos que no son de orden $2$, pongamos por ejemplo un ciclo de longitud de más de 2,(una propiedad que todos los elementos de a $A$ tienen) y llegar a una contradicción.
