¿El cardenal de Sierpiński$\acute{\mathfrak n}$ y su modificación de medida$\acute{\mathfrak m}$ son iguales a algunos cardenales pequeños incontables conocidos?

Question

Esta pregunta fue motivada por una respuesta a esta pregunta de Dominic van der Zypen.

Se relaciona con los siguientes clásico teorema de Sierpiński.

Teorema (Sierpiński, 1921). Para cualquier contables de la partición de la unidad de intervalo de $[0,1]$ en subconjuntos cerrados exactamente un conjunto de la partición no está vacía.

Motivados por esta Sierpiński Teorema que podemos hacer acerca de los más pequeños infinito cardinalidad $\acute{\mathfrak n}$ de una partición de la unidad de intervalo en cerrado no vacía de subconjuntos. Está claro que $\acute{\mathfrak n}\le\mathfrak c$. El Sierpinski Teorema garantiza que $\omega_1\le\acute{\mathfrak n}$. Por eso, $\acute{\mathfrak n}$ es un típico pequeño innumerables cardenal que viven en el segmento de $[\omega_1,\mathfrak c]$.

Problema 1. Es $\acute{\mathfrak n}$ igual que algunos otros conocidos pequeño innumerables cardenal?

Problema 2. Es $\acute{\mathfrak n}$ igual a $\mathfrak c$ bajo el Axioma de Martin?

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Podemos también pueden considerar la medida de modificación de la cardenal $\acute{\mathfrak n}$.

Es decir, vamos a $\acute{\mathfrak m}$ ser el más pequeño de la cardinalidad de una cubierta de $[0,1]$ por pares distintos subconjuntos cerrados de medida de Lebesgue cero.

Las definiciones implican que $\acute{\mathfrak n}\cdot\mathrm{cov}({\mathcal N})\le\acute{\mathfrak m}\le\mathfrak c$.

De acuerdo con el Teorema 4 de Miller, la desigualdad estricta $\acute{\mathfrak m}<\mathfrak c$ es consistente. Por eso, $\acute{\mathfrak m}$ es no trivial de la pequeña innumerables cardenal.

Problema 3. Es coherente que $\acute{\mathfrak n}<\acute{\mathfrak m}$?

Problema 4. Es $\acute{\mathfrak m}$ lo que equivale a unos conocidos pequeño innumerables cardenal?

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Añadido después de analizar los comentarios a estos problemas: Como fue observado por @Ashutosh, la respuesta del Problema 2 es afirmativa. En su papel de Miller escribe que esto fue hecho por Ambos (1968, inédito) y Weiss (1972, inédito). La MA igualdad de $\acute{\mathfrak n}=\mathfrak c$ también puede ser derivado de la ZFC desigualdad $$\mathfrak d\le\acute{\mathfrak n},$$ which can be proved as follows: given a partition $\mathcal P$ of $[0,1]$ into pairwise disjoint closed sets with $|\mathcal P|=\aguda{\mathfrak n}$, we can choose a countable subfamily $\mathcal P'\subconjunto\mathcal P$ such that the space $X=[0,1]\setminus\bigcup\mathcal P'$ is nowhere locally compact and hence is homeomorphic to $\omega^\omega$. Then $\mathcal P\setminus\mathcal P'$ is a cover of $X\cong\omega^\omega$ by compact subsets, which implies that $\aguda{\mathfrak n}=|\mathcal P\setminus\mathcal P|'\ge\mathfrak d$ by the definition of the cardinal $\mathfrak d$.

Miller demostró la consistencia de la desigualdad estricta $\acute{n}<\mathfrak c$. Mirando el diagrama de pequeña multitud de cardenales en Vaughan, sólo he encontrado tres pequeñas innumerables cardenales arriba $\mathfrak d$: $\mathfrak i$, $cof(\mathcal M)$ y $cof(\mathcal L)$.

Problema 5. Es $\acute{\mathfrak n}$ igual a uno de los cardenales $\mathfrak d$, $\mathfrak i$, $cof(\mathcal M)$ o $cof(\mathcal L)$ en ZFC?

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Resumiendo los progresos realizados hasta la fecha. Los cardenales $\acute{\mathfrak n}$ e $\acute{\mathfrak m}$ cumplir con los siguientes ZFC-desigualdades:

$$\mathfrak d\le \acute{\mathfrak n}\le\acute{\mathfrak m}=\acute{\mathfrak n}\cdot\mathrm{cov}_{\sqcup}(\mathcal N)\le\mathfrak c.$$

Aquí por $\mathrm{cov}_{\sqcup}(\mathcal N)$ denotamos el más pequeño de la cardinalidad de un separe la cubierta de $[0,1]$ por Borel Lebesgue nula conjuntos.

Está claro que $\mathrm{cov}(\mathcal N)\le\mathrm{cov}_\sqcup(\mathcal N)$ e $\mathrm{cov}(\mathcal N)=\aleph_1$ implica $\mathrm{cov}_\sqcup(\mathcal N)=\aleph_1$.

Por eso, $\mathrm{cov}(\mathcal N)=\aleph_1$ implica la igualdad de $\acute{\mathfrak n}=\acute{\mathfrak m}$.

A continuación se recogen dos consistencia de los resultados observados por

Le Brian: $\acute{\mathfrak m}<\mathrm{non}(\mathcal N)$ es consistente;

Ashutosh: $\acute{\mathfrak n}=\aleph_1$ en el aleatorio del modelo real (en este modelo de $\acute{\mathfrak m}=\mathrm{cov}(\mathcal N)=\mathrm{non}(\mathcal M)=\mathfrak i=\mathfrak r=\mathfrak c$), por lo $\acute{\mathfrak n}<\acute{\mathfrak m}$ es consistente.

Los resultados anteriores sugieren las siguientes preguntas:

Problema 6. Es $\mathfrak d<\acute{\mathfrak n}$ consistente?

Problema 7. Es $\acute{\mathfrak n}$ superior delimitada por algunas de las innumerables pequeñas cardenal diferente de $\mathfrak c$? Por ejemplo, es $\acute{\mathfrak n}\le \mathrm{cof}(\mathcal N)$ verdadera en ZFC?

Problema 8. Es $\acute{\mathfrak m}=\acute{\mathfrak n}\cdot\mathrm{cov}(\mathcal N)$?

Problema 9. Es $\mathrm{cov}_\sqcup(\mathcal N)=\mathrm{cov}(\mathcal N)$?

Answer 1

Un montón de muy buenas observaciones ya se han puesto en los comentarios. Voy a añadir una observación más que es demasiado largo para un comentario:

Es coherente que $\acute{\mathfrak{m}} < \mathrm{non}(\mathcal L)$.

La idea básica es empezar con un modelo de MA + $\neg$CH (donde $\mathrm{non}(\mathcal L)$ ya es grande), y luego la fuerza a través de este modelo de $\acute{\mathfrak{m}}$ más pequeño, dejando $\mathrm{non}(\mathcal L)$ grandes. La prueba utiliza dos hechos:

Hecho 1: Hay un $\sigma$centrada en la noción de forzar $P$ que no cambia el valor de $\mathfrak{c}$ y que las fuerzas de $\acute{\mathfrak{m}} = \aleph_1$.

Hecho 2: Supongamos $V$ es un modelo de MA y $P$ es $\sigma$centrada en la noción de forzamiento (en $V$). A continuación, $P$ no disminuye el valor de $\mathrm{non}(\mathcal L)$. En particular, si $V \not\models$ CH y si $P$ no cambia el valor de $\mathfrak{c}$,, a continuación, $\mathrm{non}(\mathcal L) = \mathfrak{c} > \aleph_1$ en la extensión.

Mi reclamo sigue fácilmente a partir de estos dos hechos. Para conseguir un modelo de $\acute{\mathfrak{m}} < \mathrm{non}(\mathcal L)$, comenzar con un modelo de MA + $\mathfrak{c} > \aleph_1$ y la fuerza con la idea de forzar $P$ descrito en el Hecho 1. El modelo resultante ha $\acute{\mathfrak{m}} = \aleph_1$ (debido a $P$ hace esto la verdad) y $\mathrm{non}(\mathcal L) = \mathfrak{c} > \aleph_1$ (por el "en particular," parte de la Realidad, 2). QED

Hecho 2 es, posiblemente, "bien conocido", pero no sé el estándar de referencia. Era la primera me lo explica Andreas Blass, que exposits muy bien en la prueba del Corolario 49 en este documento.

De Hecho 1 de la noción de forzar la aplicación de Teorema 4 en este trabajo de Arnie Miller hace el trabajo. Esta obligando a-vamos a llamarlo $P$ - es $\sigma$centrada en la persona y no cambia el valor de $\mathfrak c$.$^{(*)}$ $P$ está diseñado para añadir una partición de $2^\omega$ a $\aleph_1$ conjuntos cerrados, y es fácil demostrar (mediante un genericity argumento) que cada conjunto en esta partición tiene una medida de $0$; Miller, incluso, indica en un comentario después de la prueba de su Teorema 4.

Puede haber un pequeño problema aquí acerca de la partición de $2^\omega$ en lugar de $[0,1]$, pero lo puede conseguir alrededor de él. Dado que nuestra partición de $2^\omega$ a $\aleph_1$ cerrado medida cero conjuntos, primero observar que ninguno de ellos tiene el interior en $2^\omega$ (porque entonces no tienen medida $0$). Por lo tanto hay una contables, denso $D \subset 2^\omega$ que no contiene más de un punto de cualquiera de los miembros de nuestra partición. Recordar que si $C$ es un cerrado de medida cero subconjunto de $2^\omega$,, a continuación, $C$ menos de un punto es homeomórficos a un contable, distinto de la unión de conjuntos de Cantor, por lo que se puede dividir en countably muchos cerrado medida cero conjuntos. Por lo tanto, podemos modificar nuestra partición mediante la adición de los conjuntos de la forma $\{d\}$ con $d \in D$, y, a continuación, dividir algunos otros conjuntos en countably muchas piezas. De esta manera se obtiene una partición de $2^\omega$ a $\aleph_1$ cerrado de medida cero, incluyendo todos los conjuntos de la forma $\{d\}$ para $d \in D$. Una vez que hemos hecho esto, podemos observar que no hay una medida de preservación de la homeomorphism de $2^\omega \setminus D$ a $[0,1] \setminus \mathbb Q$. Cuando empujamos nuestra partición a través de este homeomorphism, se obtiene una partición de $[0,1]$ a $\aleph_1$ cerrado medida cero conjuntos.

$(*)$ Ninguno de estos hechos se indica explícitamente en los enlaces de papel, pero tampoco es difícil de probar. (Utilizando la notación de Miller de los enlaces de papel:) Cada obligando de la forma $P(X)$ es $\sigma$-centrado, porque si se cumplen dos condiciones de acuerdo en la parte que afirma oraciones de la forma "$[s] \cap C_n = \emptyset$" entonces son compatibles (tomar la unión de la otra parte). Está claro que no $P(X)$ aumenta el $\mathfrak c$, porque es demasiado pequeño ($|P(X)| \leq \mathfrak c$ y tiene el c.c.c., tan sólo hay $\mathfrak c$ agradable nombres reales). Por lo tanto $P$, que es una longitud de-$\omega_1$, finito apoyo de la iteración de los forzamientos de la forma $P(X)$, también es $\sigma$centrada en la persona y no aumentar el $\mathfrak c$.