¿Por qué es tan difícil el problema del billar para los triángulos obtusos?

Question

Esta es una increíblemente ingenua pregunta por lo que este puede ser cerrado. Sin embargo, he estado leyendo sobre el problema preguntando si cada triángulo obtusángulo admite un periódico de billar ruta, que ha sido abierto por un tiempo muy largo. Como alguien que no ha trabajado en este problema, me pregunto ¿por qué (en la superficie) que parece ser un "simple" problema en realidad es tan difícil de resolver.

De lo poco que he leído, parece que efectivamente se ha producido un avance hacia el problema de la talla de Schwartz, Halbeisen et al., Vorobets et al., y más, sin embargo, ninguno ha resuelto este problema. Me parece curioso que la búsqueda periódica de billar caminos para la fase aguda de triángulos a través de la Fagnano de billar órbitas es tan natural e incluso simple, sin embargo, tan pronto como se formula la misma pregunta acerca de lo correcto o triángulos obtusos la facilidad de responder a la pregunta es vencido.

Habría alguien de aquí pueda para que me explique por qué esto es (yo sé por qué Fagnano órbitas no existen en la obtuso/derecho de triángulos), y cómo llegamos a métodos tales como unfoldings a ser la mejor maquinaria en la formulación de preguntas acerca de este problema?

Answer 1

Teorema 1.1 en Richard Swartz del papel Obtuso Triangular Billar I: Cerca de la (2,3,6) del triángulo de las reglas de fácil pruebas: Se muestra que, para cualquier $\epsilon>0$ y cualquier $N>0$, hay un triángulo cuyos ángulos están dentro de $\epsilon$ de $(\pi/2, \pi/3, \pi/6)$ y para el que cualquier camino cerrado involucra a más de $N$ rebotes. Así que no podemos escribir algunas finito lista de ruta de acceso de los tipos que cubren todos los triángulos obtusos.

Answer 2

Me preguntó Rica Schwartz, que es uno de los expertos en esta área (como se señaló en el OP). Aquí, con Ricos del permiso, es su respuesta:

No estoy seguro de por qué es tan duro. Todo lo que puedo decir es que, después de una gran cantidad de experimentación, realmente no puedo ver ningún patrón. Es puede ser duro en la misma forma que la construcción de la fuente de la juventud es duro: nadie tiene alguna idea de qué hacer.

A veces he descrito el problema es similar a la de montar su bicicleta hasta el Polo Norte. Usted sabe de antemano que algo es va a ir mal para usted, pero es difícil saber lo que va a ser exactamente.

Answer 3

Empezar desde el camino más sencillo, un triángulo con ángulos $\alpha, \beta, \gamma$, y construir el único triángulo para que esta ruta es una de billar camino. Es fácil ver que el último triángulo tiene ángulos $\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\gamma+\beta}{2}, \frac{\alpha+\gamma}{2}$ y por lo tanto es aguda. Cualquier triángulo agudo puede ser obtenida de esa manera.

El lado más sencillo de los caminos que puede caber en un triángulo son auto-cruce de los pentágonos, y de nuevo sólo agudo triángulos resultado:

La ruta de acceso es A-C-F-E-G-a y el triángulo D-I-H se construye alrededor de él. Entonces, dado $\alpha, \beta$ tal que, $\alpha+\beta< \pi/2$, el triángulo D-I-H tiene ángulos agudos $\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\pi-\beta}{2}$ e $\frac{\pi-\alpha}{2}$. Pero esta vez no en todos los triángulos que se encuentran, ya que $\frac{\alpha+\beta}{2}<\frac{\pi}{4}$.

Parece que hexagonales caminos no son posibles y con el mayor orden de las rutas, incluso cuando algunos obtusos triángulos son golpeados, cada configuración probablemente cubren sólo una pequeña porción del espacio de triángulos obtusos, como pentágonos ya sólo cubrir parcialmente el triángulo agudo espacio.