Todos los polinomios son la suma de otros tres, cada uno de los cuales solo tiene raíces reales

Question

Se preguntó en el Boletín de la Sociedad Matemática Americana Volumen 64, Número 2, 1958, como un Problema de Investigación, si un Hurwitz polinomio con coeficientes reales (es decir, todos sus ceros tienen partes reales negativas) puede ser dividido en la aritmética de la suma de dos o tres polinomios, cada uno de los cuales ha positivos de los coeficientes y sólo valor no positivo de las raíces reales.

Me gustaría saber si el siguiente problema que se conoce y cómo se puede resolver:

Puede cualquier polinomio con coeficientes complejos y grado $n$ se divide en la aritmética de la suma de tres complejos polinomios, cada uno de los cuales tiene un grado en la mayoría de las $n$ y sólo las raíces reales?

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Cada polinomio real $f$ es la suma de DOS polinomios $g,h$ con todos los ceros reales (en el mismo grado). De hecho, ninguna de $g_1$ de la misma medida como $f$, cuyas raíces son reales y simples. Pequeña perturbación ¿ no destruir esta propiedad. Por lo tanto, $h_1=g_1+\epsilon f$ también tiene ceros reales al $\epsilon$ es pequeña y real. Ahora tome $g=-g_1/\epsilon, \; h=h_1/\epsilon$. Obtenemos $f=g+h$, y tanto en $g,h$ real ceros.

Un fuerte resultado está disponible: Cada real de la función $f$ de exponencial del tipo y de la satisfacción de $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\log|f(x)|}{1+x^2}dx<\infty$$ (obviamente, esta clase contiene todos los reales de polinomios) es una suma de dos funciones de la misma forma exponencial tipo con todos los ceros reales (y además, con todas las $\pm1$ puntos reales).

Su conjetura no es formal corolario de este resultado, porque no dicen que los sumandos son polinomios si $f$ es un polinomio, pero si se mira de en la prueba a ver que, cuando se aplica a un polinomio que da polinomios del mismo grado (en general, la idea de la prueba es el mismo que en mi prueba en el primer párrafo).

La referencia es MR0751391 Katsnelʹson, V. È. En la teoría de la totalidad de las funciones de la Cartwright clase.(En ruso) Teor. Funktsiĭ Funktsional. Anal. yo Prilozhen. Nº 42 (1984), 57-62. Inglés trad: MR0862002 Sociedad Matemática Americana Traducciones, Serie 2, Vol. 131. Diez papeles en el análisis. AMS Traducciones, Ser. 2, 131.Sociedad Matemática americana, Providence, RI, 1986. viii+120 pp. ISBN: 0-8218-3106-2

Comentario 1. Hay un montón de elección arbitraria en la construcción en el primer párrafo. Una opción razonable de $g_1$ sería el polinomio de Chebyshev de grado $d=\mathrm{deg}\, f$. Ha $d+1$ puntos de alternancia, donde los valores críticos son $\pm1$. Así que si tomamos $\epsilon<1/\| f\|,$ donde $\| f\|$ es el $\sup$-norma en $[-1,1]$, entonces las obras de construcción, debido a que $g_1+\epsilon f$ tiene al menos $d$ signo de los cambios en $[0,1]$, con lo que todas las raíces son reales. De modo que los coeficientes de $g$ e $h$ puede ser estimado en términos de $\| f\|$ o en los términos de la sup-norma en cualquier intervalo. Uno puede, probablemente, estado y resolver algún problema extremal acerca de esto.

Observación 2. En el problema original (ver la referencia en BAMS en la pregunta), $f$ es un polinomio de Hurwitz (los ceros a la izquierda de la mitad de plano), y es necesario que $g,h$ ser también Hurwitz. Esto puede lograrse fácilmente, incluso sin la condición de que $f$ es Hurwitz. De hecho, el argumento de Observación 1 rendimientos de $g,h$ cuyos ceros mentir en una arbitraria prescrito intervalo.

Answer 2

Para abordar la pregunta original sobre los polinomios con complejo de los coeficientes.

Dado un polinomio $P\in\mathbb C[x]$ grado $n$, escribir $P=Q+iR$ con $Q,R\in\mathbb R[x]$, y de fijar arbitrariamente un polinomio $S\in\mathbb R[x]$ grado $n$ con todas las raíces reales y de a pares distintos. Como se observa en Eremenko la respuesta, para cualquier $\varepsilon\ne 0$ suficientemente pequeña en valor absoluto, los polinomios $Q_\varepsilon:=S+\varepsilon Q$ e $R_\varepsilon:=S+\varepsilon R$ también tiene todas sus raíces reales y, a continuación, \begin{align*} P &= Q+iR \\ &= \varepsilon^{-1}(Q_\varepsilon-S)+i\varepsilon^{-1}(R_\varepsilon-S) \\ &= \varepsilon^{-1}Q_\varepsilon+i\varepsilon^{-1}R_\varepsilon-(1+i)\varepsilon^{-1}S \end{align*} es la representación de $P$ como una suma de tres polinomios de grado en la mayoría de las $n$ con todas sus raíces reales.

Answer 3

Esta es la única respuesta a mi propia pregunta en los comentarios.

Dos polinomios con raíces reales no son suficientes en general.

Para ver esto, supongamos que $f(z)=\lambda g(z)+\mu h(z)$ para los números complejos $\lambda$, $\mu$ y real de los polinomios de $g,h$. A continuación,$\bar{f}=\bar{\lambda}g+\bar{\mu}h$, y siempre que $f/\bar{f}\ne \rm{const}$, podemos solucionar esto $2\times 2$ sistema $g, h$ y ver que $g$ es una combinación lineal de $f,\bar{f}$. En otras palabras, $g$ es una verdadera combinación lineal de $\operatorname{Re}f, \operatorname{Im}f$. Pero sucede a menudo que ningún combinación lineal de dos reales de polinomios sólo tiene raíces reales. De hecho, tomar los polinomios como $x^{100}+1$ e $x^{17}+x^5$, por cambio de signo (Descartes?) estimar su combinación lineal puede no sólo tiene raíces reales.