(Corto) Secuencias exactas sin diagrama conmutativo entre ellas

Question

Esta pregunta fue hecha por un estudiante (en una forma ligeramente diferente), y yo era incapaz de responder a él adecuadamente. Creo que es bastante interesante.

El problema es producir un ejemplo de la situación siguiente: encontrar una breve secuencia exacta $$ 0 \to X_1 \to X_2 \to X_3 \to 0$$ (en alguna categoría de su elección), y una segunda secuencia exacta $$ 0 \to Y_1 \to Y_2 \to Y_3 \to 0$$ de tal manera que no se isomorphisms $X_n \cong Y_n$ para todos los $n$, PERO de tal manera que no es conmutativo el diagrama de ningún tipo entre las dos secuencias, con la vertical de mapas isomorphisms.

Es imposible encontrar un ejemplo en la categoría de espacios vectoriales, o de finitely generado abelian grupos. No sé sobre el caso general, sin embargo.

Agradecería cualquier ejemplo, pero estaría decepcionado si la categoría elegida fueron construidos específicamente a la respuesta del problema.

EDITAR / COMENTARIO: en la primera versión de esta pregunta que me estaba pidiendo secuencias que podrían ser potencialmente infinito. Algunos grandes ejemplos vino en los comentarios de inmediato. Estoy muy agradecido de ellos, pero creo recordar que el único momento en que el estudiante de la pregunta original era de unos breves secuencias exactas, así que he editado en consecuencia. (Lo siento por la confusión, el estudiante me preguntó hace varios meses, y yo estaba publicando, sólo que ahora, por alguna razón... y se equivocó. Estoy muy feliz de saber acerca de los ejemplos que involucran secuencias infinitas, sin embargo.)

Answer 1

$\def\ZZ{\mathbb{Z}}$ Esto puede suceder en finitely generado abelian grupos. Deje $p$ primo, set $G = \ZZ/p^2 \oplus \ZZ/p$ y establezca $H = \ZZ/p^3 \oplus \ZZ/p^2 \oplus \ZZ/p$. A continuación, hay dos que no isomorfo a corto exacta de las secuencias de $0 \to G \to H \to G \to 0$. El primero es la suma de las extensiones: $$\begin{matrix} 0 & \to & \ZZ/p & \to & \ZZ/p^3 & \to & \ZZ/p^2 &\to& 0 \\ 0 & \to & \ZZ/p^2 & \to & \ZZ/p^2 & \to & 0 &\to& 0 \\ 0 & \to & 0 & \to & \ZZ/p & \to & \ZZ/p & \to & 0 \\ \end{de la matriz}$$ y la segunda es la suma de $$\begin{matrix} 0 & \to & \ZZ/p^2 & \to & \ZZ/p^3 & \to & \ZZ/p &\to& 0 \\ 0 & \to & 0 & \to & \ZZ/p^2 & \to & \ZZ/p^2 &\to& 0 \\ 0 & \to & \ZZ/p & \to & \ZZ/p & \to & 0 & \to & 0 \\ \end{de la matriz}$$

Vamos a ver que estos no son isomorfos. Escribir $\alpha$ para el mapa de $G \to H$. En la primera prórroga, $\alpha(p G) \cap p^2 H = (0)$; en la segunda prórroga, $\alpha(pG) = p^2 H$.

En cualquier razonable de la categoría, clases de isomorfismo de extensiones $0 \to X \to ?? \to Z \to 0$ son clasificados por las órbitas de $\mathrm{Aut}(X) \times \mathrm{Aut}(Z)$ a $\mathrm{Ext}^1(Z,X)$. Usted está pidiendo para los casos donde hay más de una órbita que hace que el centro de plazo isomorfo como un elemento abstracto de la categoría. No hay ninguna razón por la que esto no debería suceder, así que yo esperaría que ocurriera, básicamente cualquier momento hay no trivial de la extensión de los grupos disponibles.

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Para añadir más alto nivel de contexto, el ejemplo análogo obras en $k[t]$-módulos. (Es decir, la ampliación de $k[t]/t^2 \oplus k$ por sí mismo para obtener $k[t]/t^3 \oplus k[t]/t^2 \oplus k$.) En general, para cualquier partición $\lambda$, vamos a $M(\lambda)$ ser $k[t]$ módulo de $\bigoplus_i k[t]/t^{\lambda_i}$. A continuación, $\mathrm{Ext}^1(M(\mu), M(\lambda))$ está estratificado en local cerrado piezas de acuerdo a la isomorfismo tipo de la extensión, y el número de componentes donde la extensión es isomorfo a $M(\nu)$ es el Littlewood-Richardson número $c_{\lambda \mu}^{\nu}$. Este ejemplo es $c_{(21) (21)}^{(321)}=2$. Desde $Aut(M(\lambda))$ siempre está conectado a un grupo (que es un unipotentes extensión de $\prod GL(\lambda_i)$), no puede mezclar los componentes.

Usted puede comenzar a conseguir contexto de esta a partir de los dos primeros capítulos de Schiffmann de Conferencias en la Sala de Alegbras. Por desgracia, Schiffmann siempre tarda $k$ a ser un campo finito para que él pueda contar los puntos, lo que hace más difícil hablar de positivo dimensiones subvariedades de $\mathrm{Ext}^1$.

Answer 2

Otros han dado ejemplos. Valdría la pena señalar que (en la categoría de finitely generado abelian grupos, o más generalmente en la categoría de finitely módulos generados a través de una noetherian anillo) no puede ser ningún ejemplo con $X_2$ isomorfo a $X_1\oplus X_3$ .

De hecho, supongamos que tenemos una secuencia de $$0\rightarrow X_1\rightarrow X_2\rightarrow X_3\rightarrow 0$$

Queremos mostrar que dicha secuencia se divide, entonces, que todas estas secuencias son isomorfos.

Se aplican $Hom(,X_1)$ para obtener

$$0\rightarrow Hom(X_3,X_1)\rightarrow Hom(X_2,X_1)\rightarrow Hom(X_1,X_1)$$

La secuencia original se divide si y sólo si esta secuencia es surjective a la derecha. Para esto, basta con comprobar surjectivity después de la localización y, a continuación, completar en un arbitrario prime $P$, y para esto basta para comprobar la exactitud después de modding una arbitraria de potencia principal $P^n$. Ahora todo es de longitud finita por lo que para obtener surjectivity, todo lo que necesitamos es la longitud de la izquierda y la derecha para añadir a la longitud en el medio, la cual es automática cuando se $X_2\approx X_1\oplus X_3$.

Answer 3

Es posible reutilizar mi respuesta a esta pregunta. Se da un ejemplo en la categoría de $\mathbb C[x,y]$-módulos.

Deje $R$ ser el anillo de $R=\mathbb C[x,y]$, y deje $B$ ser $5$-dimensional $R$-módulo con la forma de una 'W'. Es decir, la base de los elementos de se $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2$ y la estructura del módulo está dado por $$y \cdot a_1=b_1,$$ $$x \cdot a_2=b_1,$$ $$y \cdot a_2=b_2,$$ $$x \cdot a_3=b_2,$$ y todos los demás productos de generadores y de la base de los elementos son cero.

Deje $A=\mathbb C$ ser el trivial $R$-módulo y considerar el paralelo morfismos $f,f' \colon A \rightarrow B$ definido por $f(z)=zb_1$ e $f'(z)=zb_2.$ Ahora ${\mathrm{coker}} \; f \simeq {\mathrm{coker}} \; f'$ as $R$-módulos, sino $f$ e $f'$ son no isomorfos en $\mathrm{Mor}(\mathrm{Mod} \; R)$.

Que $f$ e $f'$ son no isomorfos en $\mathrm{Mor}(\mathrm{Mod} \; R)$ es otra manera de decir que no es conmutativo el diagrama $$ \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{f} & B \\ \downarrow u & & \downarrow v \\ A & \xrightarrow{f'} & B \end{array} $$ with $u$ and $v$ isomorphisms. Here $f$ and $f'$ se monomorphisms, por lo que podemos obtener un ejemplo que satisfagan las condiciones dadas en la pregunta.

Answer 4

He aquí un ejemplo con corto exacta de las secuencias de (infinitamente generado) abelian grupos.

Revisión de un primer $p$ y deje $C=\mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z}$ ser $p$-Prüfer cuasi-cíclico grupo; deje $C^{(n)}$ ser isomorfo copia de $C$, y deje $C^{(n)}_k\simeq\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$ ser $p^k$-torsión en $C^{(n)}$.

Considere la posibilidad de $B=\bigoplus_{n\in\mathbf{N}}C^{(n)}$. Deje $\mathbf{N}^*$ denotar los números enteros positivos. Definir subgrupos $A=\bigoplus_{n\in\mathbf{N}^*}C^{(n)}_{n}$ e $A_2=\bigoplus_{n\in\mathbf{N}}C^{(2n)}_{n}$. Entonces, claramente, $A$ es isomorfo a $A_2$, e $B/A$ e $B/A_2$ son isomorfos (a $B$). Por otro lado, la exacta secuencias de $A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow B/A$ e $A_2\hookrightarrow B\twoheadrightarrow B/A_2$ son no isomorfos, porque $A$ contiene el $p$-torsión de $B$ mientras $A_2$ no.

Answer 5

Aquí hay una respuesta que involucre finitely grupos generados en el cociente, y libre de los grupos en el núcleo y en el grupo total.

Supongamos que $G$ es un infinito, finitely generado grupo. Deje $F_n = \langle s_1,...,s_n \rangle$ ser el rango de $n$ libre de grupo, y vamos a $f : F_n \to G$ ser un surjective, noninjective homomorphism; esta es una manera elegante de decir que $f(s_1),...,f(s_n)$ es un generador de $G$, pero no de forma gratuita. El núcleo de $f$, siendo un infinito índice, no trivial, subgrupo normal de $F_n$, debe ser de infinito valor. Así, se obtiene un breve secuencia exacta $$1 \a F_\infty \a F_n \xrightarrow{f} G \a 1 $$ Ahora sólo nos queda soñar algunos $G$ y dos homomorphisms $f,g : F_n \to G$ para que los dos cortos exacta secuencias no equivalentes. Este problema es una traducción de un bien estudiado (pero, no obstante, todavía es un misterio) problema en el grupo de teoría: las dos breves secuencias exactas son equivalentes si y sólo si la generación de conjuntos de $f(s_1),...,f(s_n)$ e $g(s_1),...,g(s_n)$ son `Nielsen equivalente".

Este papel (por Lars más Fuerte con la mayoría de los casos atribuidos a Zieschang) muestra que si $G$ es el grupo fundamental de una superficie cerrada de género $g \ge 2$, entonces cualquier generación de un conjunto de cardinalidad $2g$ Nielsen es equivalente a la "estándar" dada por la presentación $$\pi_1(G) = \langle a_1,b_1,...,a_g,b_g \, | \,\, [a_1,b_1] [a_2,b_2] ... [a_g,b_g] = 1\rangle $$ Así que no vamos a tener una respuesta de la superficie de grupos.

Por otro lado, el papel de Lustig y Moria (en la Topología (1991)) da ejemplos donde $G$ es un Fuchsian grupo con torsión (grupo fundamental de un sistema cerrado 2-D orbifold) y dos grupos electrógenos de la misma cardinalidad, ambos de los cuales se ven "estándar", pero que no son Nielsen equivalente.

Este papel (por Kapovich y Weidmann) tiene una introducción con una encuesta de ejemplos.