¿Las integrales definidas e indefinidas son en realidad dos cosas diferentes? ¿Dónde está la falla en mi entendimiento?

Question

Un poco de contexto: soy ingeniero, y que tienden a tener un lugar inusual forma de entender y pensar acerca de las cosas, más probable en relación a mi ser autista. He encontrado esta pregunta en el HNQ y al leer esto me sentí bastante confundida.

Siempre he entendido que el indefinido y las integrales definidas son las dos caras de un mismo concepto subyacente, que no hay ninguna diferencia significativa entre ellos, aparte de que uno evalúa a una función y el otro a una cantidad. Esencialmente, la integral definida es lo que usted consigue, desde el funcionamiento de los números en el resultado de una integral indefinida, y diciendo que es ajena a la de la integral definida, es como decir que $\sin(x)$ es fundamentalmente diferente de $\sin(a)$, asumiendo $x$ es una variable e $a$ una constante, por ninguna otra razón que ese $x$ es una variable e $a$ una constante.

A mí, si el definido e indefinido de las integrales son las dos caras de la misma cosa, o dos estrechamente relacionadas pero diferentes cosas, parece más como una cuestión de filosofía de las matemáticas.

Donde es la falla en mi entendimiento? Hay uno?

Answer 1

El punto es, hay tres ligeramente diferentes conceptos aquí:

1) Si $f$ e $F$ son funciones con el mismo dominio, y $F'(x)=f(x)$ en ese dominio, entonces decimos que la $F$ es una antiderivada de $f$.

2) Si $f$ es una función sobre el intervalo de $a \le x \le b$, entonces la integral definida de $f$, $\int_a^b f(x) \, dx$, es (a grandes rasgos) el área bajo la gráfica de $y=f(x)$ para $a \le x \le b$, o (más precisamente hablando) un límite de sumas de Riemann. Esta definición no implica ningún derivados.

3) Si $f$ es una función sobre el intervalo de $a < x < b$ e $c$ es un punto en ese intervalo, entonces la función de $G(x)=\int_c^x f(t) \, dt$ podría ser llamada una integral indefinida de $f$. Esta definición de la función $G$ proviene directamente de la definición 2) de la integral definida, por lo que no conlleva ningún tipo de derivados.

Usted está diciendo que usted no ve ninguna diferencia entre los 2) y 3). Estás en lo correcto! Si su mental definición de "integral indefinida" es 3), entonces la integral indefinida es sólo una integral definida con algunos desconocidos límites.

La pregunta que estás enlazando está diciendo que muchos de cálculo libros de uso 1) como la definición de una "integral indefinida": es decir, ellos dicen que si $F$ es una antiderivada de $f$, a continuación, $\int f(x) \, dx = F(x)+C$ es la integral indefinida de $f$. Se puede conseguir lejos con esto debido a que el teorema fundamental del cálculo, que dice (en parte) que

$$ \frac{d}{dx}\int_c^x f(t) \, dt=f(x) \, . $$

Es decir, la función $G(x)$ definido en 3) es una antiderivada de la función $f$, por lo que estas dos nociones de "integral indefinida" están estrechamente relacionados.

Pero estrechamente relacionadas, no significa que idénticos! K B Dave respuesta es dar algunos ejemplos de situaciones en las que las dos definiciones 1) y 3) difieren ligeramente. Específicamente:

• Nos dio la definición 3) en un intervalo de $a < x < b$, pero no funciona muy bien en una forma más complicada de dominio. Esto significa que la definición 1) es más robusta cuando se $f$ tiene singularidades.
• El teorema fundamental del cálculo nos dice que todos los "integral indefinida", en el sentido de 3) es una antiderivada. No dice que cada antiderivada es una integral indefinida, que en realidad es falsa; puede tener funciones de $f$ e $F$ donde $F'(x)=f(x)$, pero no hay manera de escribir $F(x)=\int_c^x f(t) \, dt$.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\dom}{dom}$

"Razonables" las funciones de $f$ puede tener antiderivatives $D^{-1}f$ que no son de la forma $x\mapsto \int_{a}^xf(t)\mathrm{d}t$ cualquier $a$ en el dominio de $f$.

1. Deje $U=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$, y considerar la posibilidad de $$\begin{align} f&: U\to\mathbb{R} & x&\mapsto \frac{1}{x}\text{.} \end{align}$$ Entonces $$D^{-1}f(x)=\begin{cases} \ln(-x)+C_- & x < 0\\ \ln(x) + C_+ & x > 0 \end{casos}$$ donde $C_-$ e $C_+$ puede variar-porque el dominio no es trayectoria-conectado, no hay manera de integrar de positivos $x$ negativos $x$.
2. Considere la posibilidad de $$\begin{align} f&:\mathbb{R}\to \mathbb{R} & x&\mapsto \frac{1}{1+x^2}\text{.} \end{align}$$ Entonces $$\int_a^xf(t)\mathrm{d}t=\arctan x - \arctan a$$ pero $$D^{-1}f(x)=\arctan x + C\text{;}$$ dado que la magnitud de $\arctan a$ está delimitado por $\pi/2$si $\lvert C \rvert \geq \pi/2$ entonces $D^{-1}f(x)$ no es de la forma $\int_a^xf(t)\mathrm{d}t$.

Answer 3

Como se define, la integral definida y la integral indefinida son cosas completamente diferentes.

La definitiva integral de la $\int_a^b f(x)\ dx$ es definido por mirar aproximaciones a $f$ cuales son las funciones lineales a trozos, buscando en las áreas de la resultante de trapecios, y, a continuación, examinar lo que ocurre en el límite como estas aproximaciones se hacen más y más precisa.

La indefinida integral de la $\int f(x)\ dx$ se define por la búsqueda de una función de $g$ tal que $g' = f$.

Como se puede ver, en la cara de ella, estos dos conceptos parecen tener nada que ver uno con otro en absoluto. La integral definida no tiene nada que ver con derivados. Y la integral indefinida no tiene nada que ver con un modelo lineal por tramos aproximaciones o áreas de trapecios.

Se da la circunstancia de que la integral definida y la integral indefinida en realidad están estrechamente relacionados: dado algunas suposiciones razonables, si $F(x) = \int f(x)\ dx$, a continuación, $\int_a^b f(x)\ dx = F(b) - F(a)$. Así que la integral definida puede, de hecho, ser encontrado por encontrar la integral indefinida y, a continuación, conectar algunos números en él. Del mismo modo, la integral indefinida se puede encontrar mediante la búsqueda de las integrales definidas, donde un extremo es una variable. Pero las definiciones son totalmente diferentes.

En última instancia, tal vez no importa. El Dedekind los números reales y el de Cauchy de números reales se definen de maneras completamente diferentes, pero no terminan de definir exactamente la misma cosa (al menos en ZFC). Integrales definidas e indefinidas de las integrales no son exactamente el mismo, pero a menos que usted está haciendo real el análisis sobre el "mal comportamiento" de las funciones, la distinción en realidad no tiene ninguna consecuencia.

Answer 4

Esencialmente, la integral definida es lo que usted consigue, desde el funcionamiento de los números en el resultado de una integral indefinida, y diciendo que no ha relacionado [...nadie podría afirmar que son "ajenos"; simplemente que el "diferente". "diferente" a la mayoría no significa, ciertamente, "no relacionado"...] a la integral definida es como decir que $\sin(x)$ es fundamentalmente diferente de $\sin(a)$, asumiendo $x$ es una variable e $a$ una constante, por ninguna otra razón que ese $x$ es una variable y un $a$ constante.

Creo que este es su defecto. Que $x$ es una variable e $a$ es una constante es un ENORME y muy diferencia fundamental.

El número de $0.86602540378443864676372317075294...$ se puede pensar en muchas maneras, pero en última instancia es "lo que es". Una de las cosas que es es la mitad del número positivo que cuando se eleva al cuadrado es $3$. Otra cosa es es $\sin \frac \pi 3$. El número no cambia lo es sólo porque nos lo describen de diferentes maneras para diferentes propósitos.

Si $x$ es una variable, a continuación, $\sin(x)$ no es un número específico (que $\sin a$ es). $\sin(x)$ es un teórico posible valor desconocido de un número que sería seno de cualquier número de $x$ sería si estuviera atrapado en el suelo. Pero como no está atrapado en el suelo, es un valor indefinido. En un comentario que reclamó no llamamos a $\sin a$ la "definitiva sine" e $\sin x$ el "indefinido sinusoidal". No usamos esas palabras exactas, pero la mayoría de nosotros, ciertamente, hacer uso de los conceptos y distinguir entre ellos.

Para añadir a la confusión, la función de $\sin$, en sí, es diferente a $\sin(x)$. $\sin = \{(x,y)$ pares ordenados de modo que $y = \sin x\}$ es el concepto de la función en sí misma; una colección de todos los pares ordenados, mientras que $\sin(x)$ es un indefinido el valor de salida de la función por un período indefinido de entrada de valor, y que el $\sin (a)$ es un definitivo valor de salida de la función por un determinado valor de entrada.

Estas son las tres aplicaciones diferentes de un mismo concepto, o "las tres caras de la misma moneda". Nadie está diciendo que no están relacionados. Pero son cosas diferentes.

......

Por cierto, has escuchado la broma acerca de un compañero de trabajo que piensa que la capital de Noruega es en Suecia [fundamentalmente imposible e incompatible error; una capital de un país no puede estar en un país diferente, de modo que este tipo de error es inconcebible que alguien le haga]? Eso es porque él piensa que Oslo es en Suecia [un estúpido, pero concebible error] y Oslo es la capital de Noruega [un hecho, aunque él mismo no es consciente de] y por lo tanto él piensa que la capital de Noruega [Oslo] está en Suecia.

Este es el tipo de la misma cosa. La clara realidad de Oslo, y el indefinido concepto de la capital de un país son dos cosas diferentes aunque puedan evaluar a la misma cosa (si el país que usted elija es específicamente Noruega, pero no en Suecia).

Answer 5

(hay varias formas de definir las integrales, y no son 100% equivalente, así que voy a ir a la primaria manera de tratar de ser claro; por la misma razón, sólo voy a hablar de funciones continuas)

Definimos la integral de la función continua $f$ en el intervalo de $[a,b]$ como $$\tag1 \int_a^b f(t)\,dt=\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n f(x_j)\,\Delta_j, $$ donde $x_j=\frac{j(b-a)}n$ e $\Delta_j=1/n$ (más generalmente, se utiliza arbitraria particiones, pero es el mismo para el continuo funcions).

Si usted piensa acerca de ello, se le nota que no hay ni rastro de un derivado, ni en contra de derivados en $(1)$. Una integral es una integral, tiene un millón de aplicaciones, y si $f$ es bastante bueno que se puede aproximar muy bien mediante la adopción de $n$ lo suficientemente grande en el lado derecho de la $(1)$ (y puede ajustar el $x_j$, como usar el punto medio de la regla).

La relación con los derivados proviene de Newton maravilloso Teorema Fundamental del Cálculo: si $f$ es una función continua, entonces la función $$\tag2 F(x)=\int_0^x f(t)\,dt $$ satisface $F'(x)=f(x)$. Porque de $(2)$, la notación $\int f(t)\,dt$ para una antiderivada de $f$ es tan generalizada. El hecho de que cualquiera de los dos antiderivatives de $f$ difieren por una constante conduce a la Regla de Barrow: $$\tag3 \int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a). $$ Por lo $(3)$ es la razón por la que utilizamos antiderivatives para calcular integrales (cuando sea posible).

Para enfatizar el hecho de que la integral de medios de $(1)$, y no $(2)$ ni $(3)$, considerar la Función de Error $$ \operatorname{fer}(x)=\frac1{\sqrt\pi}\int_{-x}^x e^{-t^2}\,dt, $$ que es una de las muchas funciones importantes definida por una integral. La función de $\operatorname{erf}(x)$ es un múltiplo de un anti-derivado de la $f(t)=e^{-t^2}$, y no una expresión explícita para la que existe.