La función xi de Riemann $\Xi(x)$ se define, con $s=1/2+ix$ , como $$ \Xi(x)=\frac12 s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)=2\int_0^\infty \Phi(u)\cos(ux) \, du, $$ donde $\Phi(u)$ se define como $$ 2\sum_{n=1}^\infty\left(2\pi^2n^4\exp(9u/2)-3\pi n^2\exp(5u/2)\right)\exp(-n^2\pi\exp(2u)). $$ Esto surge de la integración por partes después de escribir $\Xi$ como la transformada Mellin de la función theta, y luego un cambio de variables de la notación multiplicativa a la aditiva. En 1950, de Bruijn (basándose en el trabajo de Polya) introdujo un parámetro de deformación $t$ : $$ \Xi_t(x)=\int_0^\infty \exp(t u^2)\Phi(u)\cos(ux)\, du, $$ de modo que para $t=0$ , $\Xi_0(x)$ es sólo $\Xi(x)/2$ .
de Bruijn demostró el siguiente teorema sobre los ceros en $x$ :
(i) Para $t\ge 1/2$ , $\Xi_t(x)$ sólo tiene ceros reales.
(ii) Si para algún real $t$ , $\Xi_t(x)$ sólo tiene ceros reales, entonces $\Xi_{t^\prime}(x)$ también tiene sólo ceros reales para cualquier $t^\prime>t.$
En 1976 Newman demostró que existe una constante real $\Lambda$ , $-\infty<\Lambda\le 1/2$ , de tal manera que
(i) $\Xi_t(x)$ sólo tiene ceros reales si y sólo si $t\ge\Lambda$ .
(ii) $\Xi_t(x)$ tiene algunos ceros complejos si $t<\Lambda$ .
La constante $\Lambda$ se conoce como la constante de Bruijn-Newman. La hipótesis de Riemann es la conjetura de que $\Lambda\le 0$ . Newman hizo la conjetura complementaria de que $\Lambda\ge 0$ con el comentario a menudo citado
"Esta nueva conjetura es una versión cuantitativa versión del dictamen de que la hipótesis de Riemann hipótesis de Riemann, si es cierta, es apenas es cierta".
Dada la importancia de la constante de Bruijn-Newman $\Lambda$ se ha trabajado mucho en la estimación de los límites inferiores, y el registro actual (Saouter et. al.) es $ -1.14\times 10^{-11}<\Lambda. $
Un gran avance se produjo en el trabajo de Csordas, Smith y Varga, " Los pares de ceros de Lehmer, la constante de Bruijn-Newman y la hipótesis de Riemann ", Aproximación constructiva, 10 (1994), pp. 107-129. Se dieron cuenta de que los pares de ceros de la función zeta de Riemann inusualmente cercanos, los llamados pares de Lehmer, podían utilizarse para dar límites inferiores a $\Lambda$ . La idea de la prueba es que la función $\Xi_t(x)$ satisface la ecuación de calor hacia atrás $$ \frac{\partial \Xi}{\partial t}+\frac{\partial^2 \Xi}{\partial x^2}=0, $$ a partir de la cual son capaces de sacar conclusiones sobre la ecuación diferencial que satisface el $k$ -ésima brecha entre los ceros como parámetro de deformación $t$ varía.
Mencionan esta EDP de una manera un tanto improvisada, como una observación sobre una prueba alternativa a uno de los lemas. De hecho, no parece ser muy conocido que la constante de Bruijn-Newman pueda interpretarse como una variable temporal en un flujo de calor. ¿Es esto bien conocido? O más concretamente, ¿alguien tiene una cita anterior a 1994 que mencione este hecho?
Actualización: Tao y Rodgers tienen un prueba de la conjetura de Newman en el arXiv.
