¿Qué teorema construye un objeto inicial para esta categoría? (Anteriormente "Integrabilidad por disparate abstracto")

Question

Tom Leinster tiene una nota aquí sobre cómo se puede realizar L^1[0,1] como objeto inicial de una determinada categoría. Realmente deberías leer su nota porque son sólo 2,5 páginas y es mucho más encantador que lo que voy a escribir a continuación como fondo, pero si no quieres hacer clic en el enlace aquí está la idea:

Trabajamos en la categoría de espacios de Banach con mapas contractivos, donde definimos $X \oplus Y$ tener la norma $|| (x,y) || = \frac{1}{2}(||x|| + ||y||)$ . Considere los triples $(X, \xi, u)$ donde $X$ es un espacio de Banach, $u \in X$ tiene norma a lo sumo 1, $\xi:X \oplus X \to X$ es un mapa de espacios de Banach con $\xi(u,u) = u$ . Un morfismo de tales triples es un mapa de espacios de Banach que conmuta con toda la estructura a la vista. Resulta que el objeto inicial de esta categoría es $(L^1[0,1], \gamma, 1)$ donde $\gamma(f,g)$ aplasta $f$ y $g$ por un factor de dos horizontalmente y luego los pone uno al lado del otro. Esencialmente, esto se debe a que una vez que se sabe dónde va la función constante 1, se puede determinar dónde va cualquier función constante a trozos cuyas discontinuidades estén en los racionales diádicos, y entonces por densidad se obtiene un mapa único de $L^1$ .

Leinster menciona que hay algunos resultados abstractos que realmente construyen un objeto inicial para una categoría como esta. He consultado a Barr y Wells, pero no veo qué es exactamente lo que debería utilizar aquí. La única construcción general de objeto inicial que conozco (la que aparece al principio del capítulo del teorema del functor adjunto de Categories for the Working Mathematician), no parece aplicarse (tal vez sí, pero no lo veo). ¿Alguien conoce una construcción general que se aplique aquí? ¿Cómo se ve esa construcción cuando se aplica a esta situación? ¿Se parece en algo a la construcción habitual de $L^1[0,1]$ ?

Answer 1

Espero que esto responda a la pregunta de forma un poco más explícita que la otra. El teorema general que se aplica aquí es el siguiente:

Teorema: Sea $C$ sea una categoría que como objeto inicial y colímite de $\omega$ -cadenas. Entonces, para cada functor $F : C \to C$ que preserva estos colímites, existe un $F$ -Álgebra. En concreto, se puede tomar el colímite de $0 \stackrel{i}{\rightarrow} F(0) \stackrel{F(i)}{\rightarrow} F^2(0) \stackrel{F^2(i)}{\rightarrow} \cdots$ .

Obsérvese la similitud con otros teoremas de punto fijo, como el de Banach (para espacios de Banach) o el de Tarski (para CPOs). La demostración es fácil y sencilla. En nuestro caso, tenemos la categoría de espacios de Banach $B$ y considerar la categoría de la coma $C=\mathbb{K} / B$ . Dispone de productos y también de colimits de $\omega$ -(toma la terminación del colímite de los espacios normados subyacentes) y el functor $F : C \to C,~ X \mapsto X \times X$ los preserva. Así podemos aplicar el Teorema

La secuencia $\mathbb{K} \to \mathbb{K}^{\{0,1\}^1} \to \mathbb{K}^{\{0,1\}^2} \to \dotsc$ se identifica con la secuencia de inclusiones $X_0 \subseteq X_1 \subseteq X_2 \subseteq \dotsc$ , donde $X_n$ es el espacio de las funciones escalonadas $[0,1[ \to \mathbb{K}$ que son constantes en cada intervalo del $n$ -ésima subdivisión diádica del intervalo. La norma se convierte en la habitual $\mathrm{L}^1$ -norma. La unión $\cup_n X_n$ consiste en aquellas funciones escalonadas que son localmente constantes con respecto a alguna subdivisión diádica y está dotada de la $\mathrm{L}^1$ -norma. Todas las funciones escalonadas pueden ser aproximadas por estas funciones escalonadas diádicas. La terminación es, en efecto, la siguiente $\mathrm{L}^1[0,1]$ . También alguna inspección nos da que la estructura del álgebra consiste en la función constante $1$ y el mapa $(f,g) \mapsto f \star g$ que exprime y yuxtapone.

Así que básicamente esta construcción es muy similar a la habitual de $\mathrm{L}^1[0,1]$ pero no tenemos que preocuparnos por la ambigüedad de las elecciones, ya que todas las propiedades universales implicadas lo garantizan automáticamente. Además, se evita la teoría general de las medidas.

Answer 2

La categoría que has descrito puede escribirse como un límite laxo de un diagrama en la categoría 2 de categorías. El diagrama en cuestión está formado por categorías accesibles y funtores accesibles, por lo que su límite es de nuevo accesible por un teorema de Makkai y Paré. Es obvio, a partir de la construcción, que la categoría tiene todos los límites pequeños (se computan como en la categoría de espacios de Banach y mapas no expansivos), por lo que es de hecho localmente presentable. Esto significa que tiene todos los colímites y en particular un objeto inicial.

Aquí hay más detalles y referencias. Déjese llevar por $\mathbf{Ban}_1$ sea la categoría de espacios de Banach y mapas no expansivos. Esta categoría es localmente $\aleph_1$ -presentable (véase, por ejemplo, Borceux, Handbook of Categorical algebra, volumen II, 5.2.2.e). Sea

$F \colon \mathbf{Ban}_1 \rightarrow \mathbf{Ban}_1$

sea el functor que envía un espacio de Banach $X$ a $\mathbb{R}+X\oplus X$ donde + representa el coproducto. Un morfismo f de espacios de Banach es enviado a $\mathrm{id}_{\mathbb{R}}+f\oplus f$ . Sea $U \colon \mathbf{Ban}_1 \rightarrow \mathbf{Set}$ sea el functor que envía un espacio de Banach a su conjunto subyacente. Dado que $\aleph_1$ -Los colímetros filtrados se calculan como en la categoría de conjuntos (véase, por ejemplo, Borceux, Handbook of Categorical algebra, volumen II, 5.2.2.e) sabemos que la UF compuesta preserva $\aleph_1$ -colímites filtrados. Por el teorema del mapa abierto se deduce que $F$ conserva $\aleph_1$ -Colímites filtrados.

Por el teorema de Makkai y Paré (véase, por ejemplo, Adámek, Rosický, Categorías localmente presentables y accesibles, teorema 2.77), el insertador $\mathcal{C}$ de $F$ y el functor de identidad en $\mathbf{Ban}_1$ es de nuevo una categoría accesible. Los objetos de $\mathcal{C}$ son triples $(X,\xi,u)$ donde $\xi\colon X\oplus X \rightarrow X$ y $u\colon \mathbb{R} \rightarrow X$ no se expanden (es decir, u corresponde a un elemento de $X$ de norma menor o igual a uno). Los morfismos son morfismos de espacios de Banach que son compatibles con $u$ y $\xi$ . Así, $\mathcal{C}$ es casi la categoría que nos interesa; lo único que falta es el requisito de que $\xi(u,u)=u$ .

Dejemos que

$G \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathbf{Ban_1}$

sea el functor que envía cada objeto a $\mathbb{R}$ y todo morfismo a $\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ . Se trata claramente de un functor que preserva $\aleph_1$ -colímites filtrados. Sea

$H \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathbf{Ban_1}$

sea el functor que envía $(X,\xi,u)$ a $X$ y un morfismo a sí mismo; se trata de nuevo de un functor que preserva $\aleph_1$ -Colímites filtrados. Hay dos transformaciones naturales $\alpha,\beta \colon G \Rightarrow H$ cuya componente en $(X,xi,u)$ viene dada por $u$ y $\xi(u,u)$ respectivamente. El equificador de $G$ y $H$ es precisamente la categoría que buscamos, y de nuestra construcción podemos concluir que es accesible.

El funtor de olvido obvio a los espacios de Banach crea límites, por lo que esta categoría es completa. Por tanto, es localmente presentable, y por tanto también cocompleta. En particular, se deduce que nuestra categoría tiene un objeto inicial.