¿Por qué las álgebras mentirosas afines y los grupos cuánticos deben tener teorías de representación equivalentes?

Question

Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de mentira simple sobre $\mathbb{C}$ y que $\hat{\mathfrak{g}}$ sea el álgebra de Kac-Moody obtenida como extensión central canónica del álgebra de bucles algebraicos $\mathfrak{g} \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ . En una secuencia de artículos, Kazhdan y Lusztig construyeron una estructura monoidal trenzada sobre (cierta subcategoría de) la categoría de representaciones de $\hat{\mathfrak{g}}$ de la carga central $k - h$ donde $k \in \mathbb{C}^* \;\backslash\; \mathbb{Q}_{\geq 0}$ y $h$ es el número de coxeter de $\mathfrak{g}$ . Luego demostraron que la categoría trenzada resultante es equivalente a la categoría trenzada de representaciones de dimensión finita del grupo cuántico $U_q(\mathfrak{g})$ para $q = e^{\frac{\pi i}{k}}$ .

Mi pregunta entonces es la siguiente: ¿hay alguna explicación conceptual de por qué estas dos categorías trenzadas deberían ser equivalentes (que no recurra a computar ambos lados y ver que son iguales)? Las representaciones de $\hat{\mathfrak{g}}$ de varias cargas centrales pueden considerarse como giros de la teoría de representación del álgebra de lazos $\mathfrak{g} \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ . Por otro lado, la teoría de la representación de $U_q(\mathfrak{g})$ es una deformación trenzada (que puede considerarse como una forma de torsión) de la teoría de representación de $\mathfrak{g}$ mismo. Además, la equivalencia anterior sólo es válida para los casos de deformación/torsión no triviales. El caso límite de las representaciones de $\mathfrak{g}$ se recupera tomando (cuidadosamente) $q=1$ que corresponde a $k \rightarrow \infty$ y por lo tanto no participa en el juego. Por otro lado, para obtener la carga central $0$ tendríamos que tomar $k=h$ que también se excluye (como supone la prueba Kazhdan-Lustig $k \notin \mathbb{Q}_{\geq 0}$ ). ¿Hay alguna razón por la que estas dos álgebras de mentiras tengan las mismas representaciones retorcidas/deformadas, pero no las mismas representaciones?

Answer 1

Esta respuesta no es muy sofisticada, pero en cierto modo no hay mucho donde elegir, ya que las categorías de representación de las "deformaciones de $U(\mathfrak{g})$ ." Para $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ Esto puede ser precisado por [1] como sigue. Cualquier semisimple $\mathbb{C}$ -categoría monoidal lineal con la regla de fusión de $\mathrm{SL}(n)$ tiene que ser un giro de las representaciones admisibles de dimensión finita de $U_q(\mathfrak{sl}_n)$ para algunos $q$ y los datos de torsión son discretos, dados por la 3-cohomología del dual de Pontrjagin del centro de $\mathrm{SL}(n)$ . Si se impone la existencia del trenzado, la clase de torsión tiene que ser de orden dos, por lo que se tiene la categoría de representación de $\mathrm{SL}_q(n)$ o "giro por paridad" cuando $n$ es uniforme. Otros casos son probablemente iguales, véase por ejemplo [2].

1. David Kazhdan y Hans Wenzl, Reconstructing monoidal categories, I. M. Gelfand Seminar, Adv. Soviet Math., vol. 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, pp. 111-136. MR 1237835 (95e:18007)
2. Imre Tuba y Hans Wenzl , Sobre las categorías tensoriales trenzadas de tipo $BCD$ , J. Reine Angew. Math. 581 (2005), 31--69.

Answer 2

(Escrito con mi teléfono, pido disculpas por las erratas).

Algunos comentarios:

a) En primer lugar, en cuanto al origen de la estructura monoidal trenzada en la categoría Kazhdan-Lusztig. La categoría de álgebras de Lie afines integrables es naturalmente una categoría de factorización, que es cercana moralmente a una categoría E2/monoidal trenzada, véase la respuesta de DBZ a mathoverflow.net/questions/53988/what-is-the-motivation-for-a-vertex-algebra/54008#54008. En algunos casos, esto se puede precisar, y esto le da su categoría monoidal trenzada aquí.

b) Ahora bien, en cuanto a por qué cabe esperar que estas dos categorías monoidales trenzadas coincidan, creo que la clave es exactamente la $\kappa\rightarrow\infty$ caso que menciona (correspondiente a $q=1.$ ) Un procedimiento general de "limitación al infinito" se describe en https://arxiv.org/abs/1708.05108 pero aquí procederé de forma más ad hoc. Antes de tomar este límite, permítanme reafirmar la categoría que nos interesa. La categoría de Kazhdan-Lusztig es la categoría de las categorías generadas finitamente $U_{\kappa}(g((t)))$ -con una acción de $G$ con las condiciones de que los dos inducidos $g$ acciones están de acuerdo y que los elementos de $tg[[t]]$ actuar con nilpotencia.

Para nuestro $\kappa\rightarrow\infty$ límite, tenemos que averiguar cómo degenerar $U_{\kappa}(g((t)))$ . Escribir $\kappa=c\kappa'$ para una situación fija no degenerada $\kappa'$ podemos describir $U_{\kappa}(g((t)))$ como el álgebra libre en $g((t))$ mod las relaciones $[s,t]=[s,t]_0+c\kappa'(s,t).$ No podemos limitar directamente $c$ hasta el infinito, pero nótese que podemos reescalar los generadores y reescribir las relaciones como $[s,t]=\frac{1}{c}[s,t]_0+\kappa'(s,t),$ que podemos limitar a $[s,t]=\kappa'(s,t).$ Así que podemos establecer razonablemente $U_{\infty}(g((t)))$ para ser el producto tensorial de $\operatorname{Sym} g$ y un álgebra de Weyl en $tg[[t]]\oplus (tg[[t]])^*$ (recordar $\kappa'$ induce un emparejamiento perfecto entre $g[[t]]$ y $t^{-1}g[t^{-1}]$ .)

Ahora nuestra condición de integrabilidad original se limita a las condiciones que $tg[[t]]$ actúa de forma nilpotente, que $g$ actúa por cero (no es que coincida con la acción de $G$ - recuerde nuestro cambio de escala), y que el $G$ las acciones sobre nuestra representación y sobre el álgebra de Weyl son compatibles. Las únicas representaciones que satisfacen estas condiciones son de la forma $V\otimes W$ , donde $V$ es una representación de dimensión finita de $G$ y $W$ es el rep estándar del álgebra de Weyl. Así que nuestra categoría final es, efectivamente, la categoría de $G$ -reps.

c) Una forma más intelectual de limitar $\kappa$ al infinito es a través de Langlands geométrico. GL cambia el nivel infinito con el nivel crítico, y la categoría Kazhdan-Lusztig con la categoría Whittaker en el Grassmanniano afín para el grupo dual de Langlands (ya que aquí estamos trabajando con categorías abelianas y el nivel crítico, se puede pensar en lugar de la categoría de módulos D esféricos). Ahora la geometría Satake te dice que esto te devuelve $Rep(G)$ .

Esto es un poco perverso, en el sentido de que estás usando la dualidad de Langlands dos veces. Sin embargo, el punto aquí es que esto sugiere que uno puede demostrar la equivalencia Kazhdan-Lusztig a través de métodos similares a Satake geométrica, mediante la descripción de ambos lados a través de datos de la raíz. Creo que Dennis Gaitsgory tiene una nueva prueba siguiendo estas líneas.

Answer 3

No tengo las referencias a mano, pero como nadie más ha ofrecido una explicación, así es como yo lo entiendo. La categoría de representación del álgebra de Kac-Moody es la categoría de fusión de una teoría de campo racional conforme. La categoría asociada al grupo cuántico hay que definirla con un poco más de cuidado que en tu post. Sin embargo, es la categoría asociada a una teoría de campos topológicos 2+1. Existe una relación, dudo en decir correspondencia, entre las teorías de campos conformes racionales y la TQFT 2+1. Entonces la afirmación es que estos dos ejemplos se corresponden.