¿Es cada mapa de "finalización de grupo" un mapa acíclico?

Question

Voy a empezar con una discusión más larga que se traducirá en una versión exacta de la pregunta. Soy perplejo acerca de un problema con el Quillen además de la construcción. He visto a destacados expertos están confundidos acerca de este punto. Hay diferentes formas de llamar a un mapa de $f:X \to Y$ una homología de equivalencia:

1. $f_\*:H_\*(X;\mathbb{Z}) \to H_*(Y;\mathbb{Z})$ es un isomorfismo ("débil homología de equivalencia").
2. Para cada abelian sistema de coeficientes de $A$ en $Y$ ($\pi_1 (Y)$ actúa a través de un grupo abelian), la inducida por el mapa $H_* (X;f^* A) \to H_* (Y;A)$ es un isomorfismo ("fuerte homología de equivalencia").
3. Para cada sistema de coeficientes de $A$ a $Y$, la inducida por el mapa $H_* (X;f^* A) \to H_* (Y;A)$ es un isomorfismo ("acíclicos mapa").

La tercera condición es equivalente a cada una de

3'. El homotopy fibras de $f$ son acíclicos. 3"'. $f$ es puede ser identificado con el Quillen además de la construcción.

EDIT: Antes, he incluido la declaración de "3". $f$ es débil homología de equivalencia, $\pi_1 (f)$ es epi y $ker(\pi_1 (f))$ es perfecto." Esto es falso (no implica que las otras dos condiciones); en mi respuesta a Espacios con el mismo homotopy y homología de grupos que no son homotopy equivalente? Me dio un ejemplo de una débil homología de equivalencia que, incluso, es un isomorfismo en $\pi_1$, pero cuya homotopy fibra no es acíclico. FINAL DE EDICIÓN

Las implicaciones $(3)\Rightarrow (2)\Rightarrow ( 1)$ mantener. Si todos los componentes de $Y$ simplemente conectado, a continuación, todas estas nociones coinciden; si $\pi_1 (Y)$ es abelian (cada componente), a continuación,$(2)\Rightarrow(3)$. En ese caso, $\pi_1 (X)$ es quasiperfect (es decir, su colector subgrupo es perfecto). Si $\pi_1 (Y)$ es nonabelian, a continuación, $(2)$ no implica $(3)$ (tomar la inclusión del punto de base en un noncontractible acíclicos espacio). Incluso si $Y$ es un bucle infinito espacio, un débil homología la equivalencia no tiene que ser fuerte: Tomar $X=BSL_2 (Z)$, $Y=Z/12$. El abelianization de $SL_2 (Z)$ es $Z/12$, y el mapa de $SL_2 (Z) \to Z/12$ es un débil homología de equivalencia. El núcleo, sin embargo, es un grupo libre en dos generadores.

Ahora, muchos casos de este tipo de mapas surgir en el proceso de grupo de la "finalización". Aquí hay algunos ejemplos

1. $X=K_0 (R) \times BGL (R)$ para un anillo y $Y=\Omega B (\coprod_{P} B Aut (P))$ ($P$ rangos de todos los finitely generado proyectiva $R$-módulos). El colector de subgrupo es perfecto debido a la Whitehead lema.
2. $X=\mathbb{Z} \times B \Sigma_{\infty}$; $Y=QS^0$. La alternancia de los grupos son perfectos.
3. $X=\mathbb{Z} \times B \Gamma_{\infty}$ (la estable de asignación de grupo de clase); $Y$ el Madsen-Weiss bucle infinito espacio. Aquí no hay ningún problema, $\Gamma_g$ es perfecto para grandes $g$.
4. $X=\mathbb{Z} \times B Out(F_{\infty})$ (exterior automorfismos de la libre grupo), $Y=Q S^0$. Galatius demuestra que este es un débil homología de equivalencia y afirma implícitamente este mapa es una fuerte homología de equivalencia.

Puedo explicar por qué estoy interesado: si sólo mira la homología de $X$ e $Y$, esto es sólo un estéticas pregunta. Quiero tomar homotopy fibras y como se explicó anteriormente, la distinción es esencial y un error puede arruinar cualquier argumento.

En todos estos casos, hay una topológico monoid $M$ (por ejemplo,$\coprod_{P} B Aut (P)$) y $X$ es el límite de $M_{\infty}$ obtenido por multiplicando con un elemento fijo. Hay una identificación $\Omega BM$ con $Y$ que los resultados de argumentos geométricos y no juega un papel importante en esta discusión.

Hay un mapa de $\phi:M_{\infty} \to \Omega BM$, que es el tema del "grupo de finalización teorema", ver el papel de "Homología fibrations y el grupo de la "finalización" teorema" por McDuff-Segal. El mapa surge de dejar a $M$ actuar en $M_{\infty}$ y la formación de la Borel construcción $EM \times_M M_{\infty} \to BM$. El punto preimagen es $M_{\infty}$, el espacio $EM \times_M M_{\infty}$ es contráctiles y así la homotopy es de fibra de $\Omega BM$. $\phi$ es el "geométrico-fibra-a-homotopy de fibra de mapa".

Lo Segal y McDuff demostrar es que si la acción es por la debilidad de la homología de las equivalencias, a continuación, $\phi$ es un débil homología de equivalencia. Esto es lo que se utiliza normalmente establecidos los resultados anteriores. Para demostrar que 1,2,3 son una fuerte homología de las equivalencias, uno puede invocar un extra argumento que es específico para cada caso.

Ahora, en McDuff-Segal, me parece que el reclamo (Nota 2) que sus métodos dar ese $M_{\infty} \to \Omega BM$ es una fuerte homología de equivalencia y quiero entender esto.

Me convencí de que todo el argumento pasa a través de con una fuerte homología de equivalencias (y la correspondiente noción de "una fuerte homología fibration"). Proposición 2 loc.cit. a continuación, tiene la suposición de que $M$ actúa en $M_{\infty}$ por una fuerte homología equivalencias (una de las necesidades de la noción de homología de equivalencias uno quiere probar en el final, que me parece plausible).

Esto equivale, por ejemplo, en el ejemplo 4, para demostrar que la estable de estabilización mapa de $B Out(F_{\infty}) \to B Out(F_{\infty})$ es una homología la equivalencia en el sentido fuerte. Para los "débiles en la homología de equivalencia", uno invoca la costumbre de homología estabilidad teorema (Hatcher-Vogtmann-Wahl). Pero parece que para que el mapa es una fuerte homología de equivalencia, se necesita un fuerte homológica la estabilidad del resultado. Puedo imaginar cómo la homológica la estabilidad de los argumentos puede ser modificado para incluir abelian coeficiente de sistema, pero no es una solución satisfactoria.

Aquí están, por último, algunas preguntas:

1. McDuff y Segal consulte "argumento por Wagoner" en su papel "Delooping la clasificación de los espacios algebraica de K-Teoría". Soy incapaz de encontrar un argumento en Wagoners papel que demuestra que en general los supuestos quasiperfectness. Lo que el argumento de hacer McDuff y Segal referencia?

2. Si $M$ es topológico, monoid y si $M_{\infty} \to \Omega BM$ es un débil homología de equivalencia, es siempre una fuerte homología de equivalencia?

3. Si no, ¿sabes que un contraejemplo?

4. Si 2 no es cierto, es que hay un útil criterio general para probar que el grupo de finalización mapa es acíclico (además del caso trivial $H_1 (M_{\infty})=0$ y además de demostrar que quasiperfectness de $\pi_1 (M_{\infty})$ a través de las manos).

Una relación, pero no pregunta central:

5. ¿Cuáles son las buenas contraejemplos para el grupo de la "finalización" teorema en general que explique por qué la hipótesis de que es lo esencial?

Answer 1

Creo que he sido capaz de reproducir el "argumento por Wagoner" (tal vez fue eliminado de la versión publicada?). Es ciertamente válida en más generalidad que lo que he escrito a continuación, utilizando la noción de "suma directa de grupo" en Wagoner del papel (que por desgracia parece ser un poco alterados).

Deje $M$ ser un homotopy conmutativa topológico monoid con $\pi_0(M)=\mathbb{N}$. Elija un punto de $1 \in M$ en el componente correcto y deje $n \in M$ ser $n$veces producto de 1 con sí mismo, y definir $G_n = \pi_1(M,n)$. El monoid estructura define homomorphisms $$\mu_{n,m} : G_n \times G_m \longrightarrow G_{n+m}$$ que satisfacen la obvia condición de asociatividad. Deje $\tau : G_n \times G_m \to G_m \times G_n$ ser la otra, y $$\mu_{m,n} \circ \tau : G_n \times G_m \longrightarrow G_{n+m}$$ ser el opuesto de la multiplicación. Homotopy conmutatividad de la monoid $M$ no no asegurarse de que estos dos multiplicaciones son iguales, pero asegura que existe un elemento $c_{n,m} \in G_{n,m}$ tal que $$c_{n,m}^{-1} \cdot \mu_{n,m}(-) \cdot c_{n,m} = \mu_{m,n} \circ \tau(-).$$

Deje $G_\infty$ directo de límite de sistema de $\cdots \to G_n \overset{\mu_{n,1}(-,e)}\to G_{n+1} \overset{\mu_{n+1,1}(-,e)}\to G_{n+2} \to \cdots$.

Teorema de la derivada subgrupo de $G_\infty$ es perfecto.

Prueba: Supongamos $a, b \in G_n$ y considerar la posibilidad de $[a,b] \in G'_\infty$. Permítanme escribir $a \otimes b$ para $\mu_{n,m}(a, b)$ al $a \in G_n$ e $b \in G_m$, para facilitar la notación, $e_n$ para la unidad de $G_n$.

En el directo de límite identificamos $a$ con $a \otimes e_n$ e $b$ con $b \otimes e_n$, y tenemos $$b \otimes e_n = c_{n,n}^{-1} (e_n \otimes b) c_{n,n}$$ por lo $b \otimes e_n = [c_{n,n}^{-1}, (e_n \otimes b)] (e_n \otimes b)$. Así $$[a \otimes e_n, b \otimes e_n] = [a \otimes e_n, [c_{n,n}^{-1}, (e_n \otimes b)] (e_n \otimes b)]$$ y debido a que $e_n \otimes b$ viajes con $a \otimes e_n$ esto se simplifica a $$[a \otimes e_n, [c_{n,n}^{-1}, (e_n \otimes b)]].$$ Ahora identificamos con este $$[a \otimes e_{3n}, [c_{n,n}^{-1}, (e_n \otimes b)] \otimes e_{2n}]$$ y tenga en cuenta que $a \otimes e_{3n} = c_{2n,2n}^{-1}(e_{2n} \otimes a \otimes e_{n})c_{2n,2n} = [c_{2n,2n}^{-1}, (e_{2n} \otimes a \otimes e_{n})]\cdot (e_{2n} \otimes a \otimes e_{n})$. De nuevo, como $(e_{2n} \otimes a \otimes e_{n})$ viajes con $[c_{n,n}^{-1}, (e_n \otimes b)] \otimes e_{2n}$ todo se convierte en $$[a,b]=[[c_{2n,2n}^{-1}, (e_{2n} \otimes a \otimes e_{n})], [c_{n,n}^{-1}, (e_n \otimes b)] \otimes e_{2n}],$$ un conmutador de conmutadores.