Utilidad del teorema de incrustación de Nash

Question

El teorema de incrustación de Nash afirma que toda variedad riemanniana lisa puede incrustarse isométricamente en un espacio euclidiano. $E^N$ . Este resultado tiene una importancia fundamental, ya que unifica los puntos de vista intrínseco y extrínseco de la geometría de Riemann; sin embargo, no está tan claro que también sea útil. La mayoría, si no todos, los resultados en geometría diferencial que conozco parecen haberse obtenido utilizando el punto de vista intrínseco, evitando así recurrir al teorema de incrustación de Nash.

¿Puede mencionar resultados que hayan utilizado en su demostración la incrustación de Nash de forma esencial, o resultados cuya demostración se haya simplificado considerablemente gracias al resultado de la incrustación de Nash? Si no, ¿puede explicar por qué el teorema de Nash es menos útil y potente de lo esperado?

Answer 1

El teorema de incrustación de Nash es un teorema de existencia para una determinada EDP no lineal ( $\partial_i u \cdot \partial_j u = g_{ij}$ ) y puede utilizarse a su vez para construir soluciones a otras EDP no lineales. Por ejemplo, en mi artículo

Tao, Terence , Explosión en tiempo finito de un sistema de ondas no lineales supercrítico con desenfoque Anal. PDE 9, n.º 8, 1999-2030 (2016). ZBL1365.35111 .

Utilicé el teorema de incrustación de Nash para construir soluciones discretamente autosimilares a una ecuación de onda no lineal supercrítica desenfocante $-\partial_{tt} u + \Delta u = (\nabla F)(u)$ en (un cono de luz hacia atrás en) ${\bf R}^{3+1}$ que explotó en un tiempo finito. A grandes rasgos, la idea era construir primero el tensor tensión-energía $T_{\alpha \beta}$ y luego encontrar un campo $u$ que exhibe ese tensor tensión-energía; el tensor tensión-energía $T_{\alpha \beta} = \partial_\alpha u \cdot \partial_\beta u -\frac{1}{2} \eta_{\alpha \beta} ( \partial^\gamma u \cdot \partial_\gamma u + F(u))$ era lo suficientemente cercana a la forma cuadrática $\partial_i u \cdot \partial_j u$ que aparece en el problema de incrustación isométrica que pude utilizar el teorema de incrustación de Nash (aplicado a un cono de luz hacia atrás, cociente por una simetría de escala discreta) para resolver el segundo paso del argumento. El campo $u$ tenía que tomar valores en un espacio de dimensiones bastante altas - acabé utilizando ${\bf R}^{40}$ - debido a la dimensión algo elevada necesaria en el espacio euclidiano objetivo para que se aplique el teorema de incrustación de Nash.

Además, hay un uso indirecto importante del teorema de incrustación de Nash: el esquema de iteración de Nash-Moser que se introdujo para demostrar este teorema ha demostrado desde entonces ser una herramienta poderosa para establecer teoremas de existencia para varias otras EDP no lineales, aunque en muchos casos resulta más tarde que con algún truco se puede evitar este esquema. Por ejemplo, la prueba original de Hamilton de la existencia local del flujo de Ricci en

Hamilton, Richard S. , Tres mundos con curvatura de Ricci positiva J. Differ. Geom. 17, 255-306 (1982). ZBL0504.53034 .

se basaba en la iteración de Nash-Moser, aunque un truco posterior de de Turck en

DeTurck, Dennis M. , Deformación de métricas en la dirección de sus tensores de Ricci J. Differ. Geom. 18, 157-162 (1983). ZBL0517.53044 .

permitía evitar el uso de este esquema. (Para la incrustación de Nash propiamente dicha, un truco algo similar de Gunther en

Günther, Matthias Isometric embeddings of Riemannian manifolds, Proc. Int. Congr. Math., Kyoto/Japan 1990, Vol. II, 1137-1143 (1991). ZBL0745.53031 .

para evitar también aplicar la iteración de Nash-Moser).

Answer 2

En un influyente artículo, Li y Yau introdujeron la noción de volumen conforme de una variedad riemanniana.

Li, Peter; Yau, Shing-Tung , Un nuevo invariante conforme y sus aplicaciones a la conjetura de Willmore y al primer valor propio de superficies compactas Invent. Math. 69, 269-291 (1982). ZBL0503.53042 .

Ver también El Soufi e Ilias para la generalización de la aplicación a los primeros valores propios en todas las dimensiones.

Para una variedad riemanniana $M$ y $\phi: M\to S^n$ una inmersión conforme (ramificada), $$V_c(n, \phi) = \sup_{\gamma \in G} V(M,(\gamma\circ\phi)^* can),$$ donde $G$ es el grupo de transformaciones conformes (Möbius) de $S^n$ y $can$ es la métrica redonda canónica sobre $S^n$ . Entonces $V_c(n,M) =\underset{ \phi:M\to S^n}{\inf} V_c(n,\phi)$ donde el mínimo se toma sobre todas las inmersiones conformes en $S^n$ . Además, $V_c(M)=\lim_{n\to \infty} V_c(n,M)$ .

Entonces $V_c(M)$ está bien definida debido al teorema de Nash: existe una incrustación isométrica de $M$ en $\mathbb{R}^n$ para $n$ suficientemente grande, y por tanto una inmersión conforme en $S^n$ .

El Soufi e Ilias demuestran el teorema:

Teorema Sea $(M,g)$ sea una variedad riemanniana compacta de dimensión $m$ . Entonces $$\lambda_1(M,g) V(M,g)^{2/m}\leq V_c(M)^{2/m}.$$

La igualdad se cumple si $(M,g)$ admite una inmersión isométrica en $S^n$ (hasta el escalado) por las primeras funciones propias.

Answer 3

Mapas de Sobolev entre variedades riemannianas. Sea $N$ estar cerrado, y $M$ es compacta, posiblemente con frontera. Una definición natural de los mapas de Sobolev entre variedades riemannianas $W^{1,p}(M,N)$ requiere la incrustación isométrica ot $N$ en un espacio euclidiano $N\subset\mathbb{R}^\nu$ que es el Teorema de Nash. Entonces el espacio se define como $$ W^{1,p}(M,N)=\{u\in W^{1,p}(M,\mathbb{R}^\nu):\, u(x)\in N \text{ a.e.}\} $$ El espacio está dotado de la métrica heredada de $W^{1,p}(M,\mathbb{R}^\nu)$ .

El espacio no depende de la incrustación isométrica de $N$ . Si $\iota_1:N\to\mathbb{R}^{\nu_1}$ y $\iota_2:N\to\mathbb{R}^{\nu_2}$ son dos incrustaciones isométricas y denotamos por
$$ W^{1,p}_{\iota_1}(M,N) \quad \text{and} \quad W^{1,p}_{\iota_2}(M,N) $$ los espacios obtenidos con respecto a estas incrustaciones, entonces para una cartografía $u:M\to N$ tenemos que $$ \iota_1\circ u\in W^{1,p}_{\iota_1}(M,N) \quad \text{if and only if} \quad \iota_2\circ u\in W^{1,p}_{\iota_2}(M,N). $$ Sin embargo, la métrica en el espacio depende de la incrustación, pero el mapa $$ W^{1,p}_{\iota_1}(M,N)\ni u\mapsto \iota_2\circ\iota_1^{-1}\circ u\in W^{1,p}_{\iota_2}(M,N) $$ es un homeomorfismo de espacios.

Esta clase de mapeos aparecen de forma natural en el estudio de problemas variacionales geométricos para mapeos entre variedades. Como, por ejemplo, la teoría de los mapas armónicos. Uno de los primeros problemas fue la cuestión de si los mapeados suaves son densos. Esto condujo a una investigación muy fructífera que mostraba profundas conexiones con la topología algebraica.

Puede encontrar información básica sobre este espacio, así como referencias, en el documento de la encuesta (disponible en mi sitio web):

P. Hajasz, Mapas de Sobolev entre variedades y espacios métricos. En: Sobolev Spaces in Mathematics I. Sobolev type Inequalities pp. 185-222. International Mathematical Series. Springer 2009.

Answer 4

En el documento se intenta responder a la pregunta "¿Qué podemos hacer con el teorema de incrustación de Nash? http://mathlab.math.scu.edu.tw/mp/pdf/S30N35.pdf El artículo de Gromov "Geometric, algebraic, and analytic descendants of Nash isometric embedding theorems" ofrece una perspectiva muy amplia del teorema de incrustación de Nash. https://www.ams.org/journals/bull/2017-54-02/S0273-0979-2016-01551-5/

Se puede continuar con cuestiones sobre las relaciones entre las clases de regularidad + la topología/geometría de las variedades fuente con las dimensiones q de los espacios ambiente, pero los problemas más convincentes que plantean los resultados de Nash no tienen que ver con éstos.

Nash, como Colón, descubrió sin querer una nueva tierra. Perfeccionar y mejorar los resultados de la incrustación isométrica de Nash sería como construir barcos más grandes y rápidos que aquellos en los que Colón había cruzado el Atlántico.

Pero, ¿qué es esta nueva tierra? ¿Cuál es su geografía, su geología, su ecología? ¿Cómo se puede explorar y cultivar esta tierra? ¿Qué se puede construir en ella? ¿Cuál es su futuro? Puede ser difícil decidir qué es esta tierra, pero es fácil decir qué no es:

lo que Nash descubrió no es ninguna parte de la geometría de Riemann, ni tiene mucho (si es que tiene algo) que ver con la EDP clásica.

Los teoremas de Nash son sólo superficialmente similares a los resultados de existencia (e inexistencia) de las inmersiones isométricas que se basan en la EDP y/o en relaciones entre geometrías intrínsecas, es decir, riemannianas inducidas, y extrínsecas de submanifolds en espacios euclidianos. (El principal ejemplo de esto último es la prueba de la existencia de inmersiones isométricas de superficies con curvaturas positivas en el espacio euclídeo 3 $R^3$ mediante estimaciones elípticas a priori, que son ciertos límites a la curvatura extrínseca de una superficie localmente convexa $XR^3$ en términos de la curvatura intrínseca de Gauss de X).

Los resultados de Nash apuntan en la dirección opuesta:

Por lo general, la geometría de una variedad riemanniana X no tiene una influencia significativa en sus incrustaciones isométricas en $R^q$ .

Para hacernos una idea del tipo de matemáticas que pueden encontrarse en esta "dirección opuesta", examinaremos los teoremas de Nash y sus demostraciones desde distintas perspectivas.

Answer 5

Permítanme añadir que el fórmula de Gauss-Bonnet generalizada se demostró por primera vez para variedades riemannianas embebidas. Se hizo independientemente en "On the volume of tubes" (1939) de Weyl y "The Euler number of a Riemannian manifold" (1940) de Allendoerfer. (Por cierto, la prueba es bonita y sencilla).

Junto con el teorema de Nash, da la fórmula para todos Múltiplos riemannianos. Así pues, el teorema de Nash puede aplicarse para demostrar el teorema de Gauss-Bonnet generalizado.