El siguiente problema se plantea en el trabajo colaborativo con Subhro Ghosh:
Pregunta: Para cualquier polinomio $P_n(z)=\sum_{i=0}^n a_i z^i =a_n \prod_{i=1}^n(z-z_i)$, adjuntar empírica de la medida de ceros $L_n=n^{-1}\sum \delta_{z_i}$ (una medida de probabilidad en el plano complejo). Deje ${\cal M}$ denotar la colección de límite de puntos (en la topología débil) de los empírica de las medidas obtenidas cuando todos los $a_i$ están obligados a ser no negativo de reales (pero de otro modo, arbitraria $a_i$), con el límite de puntos de probabilidad medidas. Puede ${\cal M}$ se caracteriza?
Observaciones: por supuesto, la probabilidad de medidas en $\cal M$ son simétricas respecto al eje real, lo suficiente para mirar en la restricción de las medidas para la (cerrado) mitad superior del plano. Probabilidad de medidas apoyadas en el negativo de la mitad de avión pertenecen a $\cal M$. En el lado negativo, por un teorema de Obrechkoff, cualquier medida de probabilidad en $\cal M$ de los cargos de la simetría del cono de la anchura total $\alpha$ en todo el eje real con una misa en la mayoría de los $\alpha/\pi$. Por último, en el que el azar polinomios con $a_i$ iid con delimitada momentos de cierto orden, el punto límite es el uniforme de la medida del círculo, y a partir de esto (o el uso de productos de polinomios $\sum_{i=0}^k z^i$) se muestra que cualquier radialmente simétrica probabilidad de medir pertenece a $\cal M$. Resultados de la estrella de Barnard et als en la factorización de polinomios con coeficientes positivos permiten construir otros ejemplos de medidas en $\cal M$. Hay más ejemplos, pero buscamos una caracterización de $\cal M$.
