Número de representaciones irreducibles de un grupo finito sobre un campo de característica 0

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y $K$ un campo con $\mathbb{Q} \subseteq K \subseteq \mathbb{C}$.

Para $K=\mathbb{C}$ el número de representaciones irreducibles de $KG$ es igual al número de clases conjugacy de $G$.

Para $K=\mathbb{R}$ el número de representaciones irreducibles de $KG$ es igual a $\frac{r+s}{2}$, donde $r$ indica el número de clases conjugacy de $G$ e $s$ el número de clases estable bajo de inversión.

Para $K=\mathbb{Q}$ el número de representaciones irreducibles de $KG$ es igual al número de clases conjugacy cíclico de los subgrupos de $G$.

(Usted puede encontrar de forma rápida las pruebas de los resultados en el muy reciente libro "Un Viaje a Través de la Teoría de la Representación: a partir De Grupos Finitos para el Carcaj a través de Álgebras de" Caroline Gruson y Vera Serganova, donde una buena visión general rápida de la teoría de representaciones de grupos finitos en el carácter 0 está dada en los capítulos 1 y 2.)

Pregunta:

Hay tan bonitas cerrado forumlas para otros campos de $K$? Por ejemplo, cuadráticas, cúbicas o cyclotomic campo extensiones de $\mathbb{Q}$.

Answer 1

Hay una caracterización debido a Berman para cualquier campo. En su caso vamos a $n$ ser el mínimo común múltiplo de los pedidos de elementos de $G$. Deje $\zeta$ ser una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad. Deje $H=Gal(K(\zeta)/K)$. Podemos identificar a $H$ con un subgrupo de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^*$. Llame a $a,b\in G$ $K$-conjugado si $b^j=gag^{-1}$ para algunos $g\in G$ e $j\in H$. Esta es una relación de equivalencia y el número de irreductible $KG$-módulos es el número de $K$-clases conjugacy.

En el carácter $p$ hacer el análogo cosa, pero que sólo se ven en esta relación de equivalencia en $p$-elementos regulares.