El Pontryagin-Thom construcción muestra que la estable homotopy grupos de esferas son las mismas que las de los grupos de forma estable enmarcada colectores hasta cobordism. Específicamente la de Hopf mapa corresponde a la circunferencia con su Mentira grupo de encuadre. Es bien sabido que este elemento $\eta$ estable homotopy (como todos los elementos positivos de grado) es nilpotent en el establo homotopy anillo, más específicamente $\eta^4$ es trivial. En el cobordism lado, la multiplicación en el ring es sólo el producto de los colectores. De modo que la correspondiente declaración acerca de los colectores es que el 4-dimensional toro con su Mentira grupo de encuadre es nullcobordant. Hay una forma geométrica entender esto? Lo que hace que el 4d toro tan diferente de la de 2d y 3d? ¿
Respuesta
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Resumen De La Respuesta
Deje $\eta$ ser el enmarcada 1-colector que es la Mentira de grupo enmarcado en el círculo y vamos a $\nu$ ser la Mentira de grupo enmarcado en $S^3 = Spin(3)$. Probablemente voy a confundir estos enmarcada colectores con sus clases en el marco de cobordism. Espero que me perdones.
Hay un montón de formas geométricas para ver que $2 \eta = 0$ en forma estable enmarcada bordism así que voy a tomar eso como algo dado.
Una cosa que hace que la dimensión de cuatro diferentes de dimensiones dos y tres es la existencia de la 3d de la superficie.
Lo que voy a mostrar a continuación es que hay una manera de cortar el 3d de la superficie en la mitad para obtener un 4-colector, que voy a llamar a $X$, con un límite de 3 'toro'$T^3$. Vamos a ver que si sacamos 12 puntos de la $X$ a continuación, se admite un (inestable) la estructura, que además restringe a la Mentira de grupo enmarcado $\nu$ en cada uno de los 12 puntos y se restringe a la Mentira de grupo enmarcado $\eta^3$ sobre el 3-toro.
Este es un geométricas encarnación de la relación $\eta^3 = 12 \nu$, que, como usted ha observado, revela de inmediato que $\eta^4 = 0$ ya $2 \eta = 0$.
Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que $24 \nu = 0$ y voy a empezar por ahí.
24 de Torsión en el 3er estable de la madre, a través de la geometría
La 3ª estable madre ( = la 3ª estable homotopy grupo de esferas = grupo de forma estable enmarcada 3-variedades hasta cobordism) es $\mathbb{Z}/24$ y es una pregunta natural para una descripción geométrica de la fuente de este 24. De hecho, este ha sido preguntado y respondido antes de MO. Lo que voy a describir es en realidad una síntesis de las respuestas dadas por Tilman y Mrowka para que la pregunta anterior, lo que da un geométrica de razón por la $24 \nu = 0$.
La clave geométrica ingrediente es la existencia de la 3d de la superficie. Este complejo de superficie es famoso por su muy interesantes y útiles propiedades. Los dos hechos relevantes acerca de este 4-colector son los siguientes:
- El cohomology grupos de la 3d de la superficie son: $\mathbb{Z}, 0, \mathbb{Z}^{22}, 0, \mathbb{Z}$. En particular, es simplemente conectado y la característica de Euler es de 24.
- El 3d de la superficie es hyperkahler. Esto significa que no hay una estructura compleja en la tangente paquete de 3d, pero que hay tres distintos $I, J, K$ y generan un álgebra de cuaterniones paquete.
Esta segunda propiedad es fundamental, porque significa que si se nos da un valor distinto de cero vector $v$ en el espacio de la tangente de la 3d, entonces obtenemos un marco de $(v, Iv, Jv, Kv)$. En un 3d de la superficie (y submanifolds de la misma), podemos girar a la no-desaparición de campos vectoriales en 3-carpintería.
La clase de Euler obstruye la existencia de un no-desaparición de la sección de la tangente de paquete, sin embargo, ya que la característica de Euler es de 24, si hemos de pinchar el 3d de la superficie de 24 horas (la introducción de las 24 3-esfera límite de componentes), entonces podemos encontrar un no-desaparición de campos vectoriales. La aplicación de la hyperkahler estructura a esto nos da un 3-elaboración de la pinchado 3d de la superficie. Este es ahora un enmarcado bordism que muestra que la suma de los 24 enmarcada 3-esferas es cero en el enmarcada bordism grupo.
De hecho, yo creo que podríamos encontrar un no-desaparición de campo de vectores en el K3 después de pincharlo sólo una vez. Sin embargo, por la perforación de 24 veces podemos organizar para cada uno de los pinchazos de ser una simple fuente para el vector de campo. Esto es importante porque cuando los aplicamos la hyperkahler estructura cerca de la fuente, vemos que en efecto, dar a la Mentira de grupo enmarcado en cada uno de los 24 3-esferas.
Llegamos a la conclusión de que $24 \nu = 0$.
La mitad de las 3d de la superficie y $\eta^3 = 12 \nu$, a través de la geometría
Hay una importante famoso camino para la construcción de la 3d de la superficie llama la Kummer construcción. Me limitaré a hablar de los aspectos topológicos primera. En esta construcción que considerar en primer lugar el 4-torus $T^4$, lo que vamos a pensar como una Mentira grupo.
Siguiente tomamos el cociente por la involución $\sigma: a \mapsto -a$. Esto se traduce en un coeficiente de espacio/orbifold $T^4/ \sigma$ que tiene 16 singularidades. Para obtener el 3d de la superficie de nosotros "blow-up" esos 16 puntos. El resultado es que el 3d de la superficie.
Para obtener la mitad de la 3d de la superficie vamos a modificar esta construcción. Considere el círculo de los factores de la 4-toro. El $Z/2$ acción proviene de un producto de una acción en cada uno de estos factores. Es simplemente reflejar el círculo a través del eje x. Tiene dos puntos fijos en el círculo en (1,0) y (-1,0). El producto de estos puntos fijos en cada círculo nos dan los 16 puntos fijos en el $T^4$.
Vamos a tomar un círculo factor y considerar la posibilidad de cortar en la mitad en los semicírculos con positivo o negativo de la coordenada x. La acción es compatible con esta división (es un equivariant descomposición) y cada semicírculo ahora sólo tiene un punto crítico.
Esta descomposición nos da una descomposición de la de la 4-toro $$ T^4 = (I \times T^3) \cup_{\partial I \times T^3} (I \times T^3) $$
El límite de cada semestre consta de dos disjuntas $T^3$s, $\mathbb{Z}/2$- acción intercambios de ellos. El cociente $$(I \times T^3)/\sigma $$ es un orbifold con límite de $T^3$ y con ocho puntos singulares en el interior. Si nos blow-up de esos ocho puntos, entonces obtenemos un colector $X$ que es la mitad del 3d de la superficie en el sentido de que $$X \cup_{T^3} X = K3.$$
Dado que la característica de Euler de $T^3$ es cero, esto significa que $\chi(X) = \frac{1}{2} \chi(K3) = 12$.
Ahora, simplemente, como la característica de Euler obstruye la existencia de un no-desaparición de campo de vectores en un colector cerrado, en un manifold con frontera obstruye la existencia de un no-desaparición de campo vectorial que restringe aún más el interior que apunta normal del vector de campo cerca de la frontera.
Por lo tanto, si tomamos la 4-colector $X$ y la punción de 12 veces, luego podemos elegir una no-desaparición de campo del vector que apunta hacia adentro en cada uno de los pinchazos (es decir, son fuentes) y que es hacia adentro señalando a lo largo de la frontera 3-toro. A continuación, aplicamos el hyperkahler estructura de extender esto a un 3-encuadre.
Ya he mencionado que cerca de cada una de las 3 esferas obtenemos la Mentira grupo de encuadre. Este es creíble porque sólo necesitamos entender lo que está pasando cerca de un punto aislado y por lo que algunos plana estándar del modelo de $R^4$ es una buena aproximación, al menos para identificar el homotopy clase de la inducida por el encuadre.
Sin embargo, tengo la afirmación de que la inducida por la estructura sobre las 3-toro está de acuerdo con $\eta^3$. Si es así, entonces este bordism testigos de la relación $\eta^3 = 12 \nu$, y hemos terminado.
¿Por qué es esto enmarcado 3-torus $\eta^3$?
Podría ser una manera fácil de ver esto, pero yo, al menos, encontrar una manera de hacer esto, observando más de cerca la estructura geométrica en 3d de la superficie. Mucho de esto viene de D. el libro de Joyce Compacto Colectores con Especial Holonomy.
Uno de los reclamos de propiedades de la 3d de la superficie es que tiene un hyperkahler estructura, pero ¿cómo podemos construir una estructura de forma explícita? Aquí en concreto me refiero a una Kahler métrica que tiene especial holonomy dado por $SU(2)$. Sabemos que el espacio de moduli de tales indicadores es de 20 dimensiones, cómo construimos los puntos en los que hay?
Es un método para volver a la Kummer construcción. En la de 4 de toro tenemos un plano de Kahler métrica, viendo como el cociente de $\mathbb{C}^2$ por una celosía. Este es invariante bajo$\sigma$, por lo que desciende a dar una métrica plana en $T^4/\sigma$, que podemos pensar como un singular degenerados métrica en el 3d de la superficie. Podemos pensar en esto como un punto en la frontera de algunos compactification del espacio de hyperkahler métricas y la idea es deformar esta métrica para obtener el deseado. Lejos de los puntos singulares en el plano métrico es una buena aproximación, pero cerca de los puntos singulares es malo, por lo que reemplazarlo con el "Eguchi-Hanson" métrica. Entonces usted tiene que interpolar. Los detalles de este parecer difícil y Joyce atributos de Página, LeBrun-Cantante, y Topiwala.
Así que al final, vemos que la métrica (y, por tanto, la hyperkahler estructura) se parece a la plana métrica cuando se está lejos de los puntos singulares. El 3-toro es, por construcción, tan lejos de estos puntos singulares como sea posible. También podemos elegir las perforaciones para estar en el "plano de la región" así.
Una vez que el toro y las perforaciones tienen un cercano hyperkahler estructura que es aproximadamente plana, es fácil ver que la construcción de un encuadre produce $\nu$ cerca de cada uno de los pinchazos y produce $\eta^3$ sobre el 3-toro.
Anexo
Ahora que escribo esto veo que es probable que haya mucho más fácil topológico argumento. Todo lo que usted necesita saber es que usted puede pegar el plano topológico casi hyperkaher estructura (no necesariamente integrable) estándar hyperkaher estructura cerca de la blow-ups. Este fue, probablemente, un primer paso necesario en el más difícil geométrica de los resultados que he mencionado.
