Haciendo soufflé esta noche, me preguntaba si las seis yemas tomaron el configuración óptima círculo de embalaje. No es así. Es sólo con siete círculos congruentes que el óptimo embalaje coloca uno en el centro.
Q . ¿Por qué las yemas en un bol no siguen el empaquetamiento óptimo de círculos congruentes congruentes en un círculo?
Seis yemas en un bol.
Imagen de Wikipedia . Embalajes óptimos para $5,6,7$ círculos.
El sistema no intenta minimizar el radio del círculo envolvente, sino su energía potencial. Podemos idealizarlo como discos no superpuestos en un potencial convexo rotacionalmente simétrico $V$ con $V(0) = 0$ . La configuración realizada físicamente tiene entonces una energía potencial $5 V(d)$ (con $d$ el diámetro de las yemas) mientras que la configuración de Wikipedia tendría una energía potencial $6 V(d)$ .
Sin embargo, el $d$ en $6 V(d)$ es menor que el de $5 V(d)$ . Tienes que demostrar que la desigualdad sigue siendo válida.
@MatthiasUrlichs Si te fijas en las imágenes de la pregunta, el tamaño del círculo de los empaquetamientos óptimos 6 y 7 es el mismo, así que si quitas cualquier círculo del empaquetamiento óptimo 7 se crea otro empaquetamiento óptimo 6. Y si quitas un círculo que no está en el centro, puedes mover un poco los otros círculos. Así que el $d$ es igual en ambos casos.
¿Cómo que "las yemas no siguen un envasado óptimo"? Claro que sí. La configuración con una yema en el centro tiene exactamente el mismo radio que la que tiene seis yemas distribuidas por el borde.
También tiene menos energía potencial, por lo que la solución de 6 círculos que has citado es, en el mejor de los casos, un óptimo no global. De hecho, es probable que sea metaestable, dada la tendencia general de las yemas de huevo a ser manchas blandas en lugar de círculos perfectos.
Además de las excelentes respuestas ya añadidas, es importante señalar que, además de la descripción de Martin Hairer, este problema se distingue del empaquetamiento en círculo en otro aspecto: el sistema intenta minimizar la función potencial en cada punto del tiempo, sujeto a las leyes físicas que rigen el movimiento de las yemas de huevo en un bol. En general, esto no equivale a minimizar la función potencial, y puede conducir a un mínimo local pero no global.
Un ejemplo de ello es un lápiz que se balancea sobre su punta. Se trata de un estado de equilibrio, pero es evidente que la energía potencial no es óptima. Es cierto que este ejemplo dista mucho del problema de la yema de huevo, por lo que sería conveniente que alguien lo editara con un ejemplo más similar.
Bienvenido a MO dreamconspiracy. Una yema de huevo equilibrada encima de un cuenco en lugar de dentro es quizás un ejemplo más cercano de equilibrio inestable, pero la configuración que han encontrado arriba es estable y (esencialmente) el PE mínimo global.
@alecrhea un mínimo global es esencialmente siempre estable en un sistema que se rige por leyes físicas donde el gradiente de potencial es proporcional a la aceleración. Eso no quiere decir que no haya otros puntos estables o que estos nunca se alcancen
Probablemente se trate de diferentes definiciones, pero yo llamaría a un lápiz que se balancea sobre su punta un punto de equilibrio inestable . Supongo que cuando escribes "estable" te refieres a lo que yo llamo "punto de equilibrio", no a lo que yo llamo "estable".
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Lo hacen. Cinco círculos tocando un círculo central también es una configuración óptima. Las configuraciones óptimas no son, en general, únicas.
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¿No se ve claramente en su fotografía que NO son círculos?
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Creo que la yema del centro se está aplastando, por lo que las del exterior tienen mayor radio efectivamente. Hay un embalaje óptimo con 6 círculos donde el 1 en el interior es menor que 5 círculos congruentes fuera.
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Yo pensaría que como la gravedad tira de ellos hacia abajo, una configuración con la energía más baja incluiría un huevo en el centro para la mayoría de las cantidades. El problema del empaquetamiento óptimo de círculos no aborda la 3ª dimensión.
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Consideremos un pozo potencial de acero inoxidable de fondo plano y diámetro ligeramente inferior a $3$ veces el diámetro de las yemas. Pruebas experimentales (a saber, i.stack.imgur.com/QE8iT.jpg y i.stack.imgur.com/mmT4b.jpg ) sugiere que ambas configuraciones son estables. En diámetros supercríticos (no representados), los huevos parecen preferir configuraciones que minimicen la superficie total y, por tanto, evitan la configuración con $6$ -simetría doble. El recocido térmico resultó ser poco perspicaz.
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Joseph, ¿no queda clara la observación de Wojowu simplemente eliminando un círculo del embalaje de 7 círculos? Es decir, si aceptas que el empaquetamiento que muestras para 6 círculos es óptimo, está claro que el de Wojowu no es peor.
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(He editado mi comentario anterior, pero sólo quitar un círculo perimetral del embalaje con 7).
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¿Qué tal ha ido?
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Esto pertenece a math.stackexchange, no aquí
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Entonces, ¿cómo llega el del medio desde el interior del pentágono al exterior? @JosephO'Rourke
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Hablando como físico experimental: (a) no son esferas rígidas, (b) no tienen un tamaño uniforme, (c) eres matemático, ¿no? :-)
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Si cogiera 6 pelotas de ping pong y las pusiera en un cuenco para huevos, probablemente no esperaría que acabaran como un empaquetamiento óptimo para 6 discos, y probablemente se formarían de forma similar a los huevos. El empaquetamiento óptimo es un caso bidimensional, probablemente con muchas partículas y una fuerza exterior hacia dentro en todas direcciones, mientras que éste es un caso tridimensional, con un campo de fuerza casi constante de la gravedad, hacia abajo. Probablemente se pueda convertir en un problema bidimensional con un campo de fuerza ficticio. Pero en cualquier caso, esto parece ser un equilibrio claro. Perturbarlo ligeramente y vuelve. El otro no y no es estable.
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Con los 6 formando un hexágono, es un equilibrio inestable. Dependiendo de cosas como la fricción de los huevos, la presión de la clara de huevo, si se perturba lo suficiente uno caerá en el centro que es muy estable, y no hay manera de quitarlo, para formar de nuevo en un hexágono.
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Una forma de caracterizar el problema es la energía potencial gravitatoria de 6 esferas, dadas las coordenadas 2d y la curvatura de la huevera. Entonces la pregunta concretamente pide algo sobre la estabilidad de un mínimo local de su energía gravitatoria. Así que no basta con encontrar un estado de energía minimizado, sino uno que sea probable.
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Parece un problema de 13 dimensiones, 6 por 2 coordenadas, más el potencial gravitatorio del sistema. Entonces, ¿quizás forma una Superficie y dadas las condiciones iniciales se desplaza a un mínimo?
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@Lubin: ¡Delicioso! :-)