Ejemplos de estructuras mixtas de Hodge

Question

¿Alguien conoce una introducción fácil y llena de ejemplos a las estructuras mixtas de Hodge? En la Wikipedia me dicen cómo calcular para una curva perforada y pellizcada ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_structure#Mixed_Hodge_structures ), pero quiero más! Quiero tablas y números y todo lo que sea explícito y acuchillado. ¡Gracias!

Answer 1

No puedo creer que nadie haya mencionado aún el libro Mapeo de períodos y dominios de períodos por Carlson, Müller-Stach y Peters. El capítulo 1, la introducción, está escrito casi como una historia, comenzando con la estructura pura de Hodge en la cohomología de una superficie de Riemann e introduciendo estructuras mixtas de Hodge mirando las degeneraciones. Otras sutilezas esperan al lector en los capítulos siguientes.

Answer 2

Me acabo de dar cuenta de la pregunta. Las referencias mencionadas hasta ahora son buenas. Así que sólo haré el ejemplo que normalmente hago en una pizarra cuando alguien me pregunta. Toma una variedad proyectiva compleja y suave $X$ con un divisor suave $D$ . Set $U=X-D$ . Hay una larga secuencia exacta $$ \ldots H^i(X) \to H^i(U) \to H^{i-1}(D) \to H^{i+1}(X) \ldots $$ digamos con coeficientes racionales o complejos. ¿Qué son los mapas? El primero es la restricción, el segundo el uso $ \mathbb {C}$ Los coeficientes son un mapa de residuos, y el tercero es el mapa de Gysin que es del tipo $(1,1)$ (o quieres querer conseguir que necesitas un giro Tate aquí). La teoría mixta de Hodge de $U$ se puede leer de esto.

Por ejemplo, para los números de Hodge $$ \dim H^{pq}(U)= \dim im[H^{p-1,q-1}(D) \to H^{pq}(X)]+ \dim ker[H^{pq}(D) \to H^{p+1,q+1}(X)]$$ y así sucesivamente. (Por cierto, $H^{pq}$ se toma como el $(p,q)$ parte de la $p+q$ cociente de peso graduado.)

Bien, déjame hacerlo más concreto. Deja que $X$ ser una superficie con irregularidades $q=0$ tal vez $ \mathbb {P}^2$ Entonces $D \subset X$ es una curva de digamos el género $g$ . Entonces, desde arriba, los interesantes números de Hodge son $$h^{20}(U)=h^{02}(U)=h^{20}(X)$$ $$h^{11}(U)=h^{11}(X)-1$$ $$h^{12}(U)=h^{21}(U)=g$$

Tal vez sea suficiente por ahora.

No puedo resistirme a apretar un ejemplo más. Supongamos que $D$ en la superficie de arriba $X$ puede ser contraído hasta un punto en una superficie normal $Y$ . Así que por ejemplo, $Y$ podría ser un cono sobre una curva plana, y $X$ la explosión del vértice. Usando la dualidad y la secuencia exacta estándar para la cohomología de apoyo compacto, podemos concluir $$H^i(Y)=H_c^i(U)= H^{4-i}(U)^*(-2), \quad i>0$$ En lo que respecta a los números de Hodge, el doble medio $(p,q) \mapsto (-p,-q)$ y $(-2)$ significa cambiar por $(2,2)$ .

Answer 3

Esta conferencia de Sam Payne es una muy buena introducción:

http://archive.msri.org/communications/vmath/VMathVideos/VideoInfo/4162/LV/LaunchVideo?videoid=13602

Answer 4

A.H. Durfee, ``Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge,'' Singularidades, Parte 1 (Arcata, Calif., 1981), 313-320, Simposios de Proc. Matemáticas puras, 40, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983.

es bastante agradable de leer, pero probablemente no maneja más casos de los que ya sabes.

Answer 5

El largo documento de Deligne "Grupo fundamental de la línea proyectiva menos tres puntos" tiene varios ejemplos de motivos mixtos justo al principio (en la sección 2, "ejemplos") cuyas estructuras mixtas asociadas de Hodge se describen muy explícitamente. Ahí es donde aprendí lo que era una estructura mixta de Hodge, en cualquier caso.

http://www.math.ias.edu/files/deligne/GaloisGroups.pdf