¿Es un colimito filtrado de espacios racionales nuevamente racional?

Question

Primero, permítanme explicar el estado de la cuestión y, a continuación, dar alguna indicación de por qué la respuesta puede ser "sí". Un espacio al que me refiero, por ejemplo, un conjunto simplicial y racional me refiero racional en el sentido de Bousfield, es decir, local con respecto a la homología de la teoría de la $H\mathbb{Q}$. Si denotamos la categoría de los espacios por $\mathcal{S}$, en la categoría de racional de los espacios de $\mathcal{S}_\mathbb{Q} \subseteq \mathcal{S}$ es una subcategoría y la pregunta es si es cerrado bajo filtrada colimits. Este sería, en particular, implica que el $\infty$-categoría de racional de los espacios compacta está generado. Tenga en cuenta que se sabe que esta $\infty$-categoría a la que se genera por $\kappa$-objetos compactos para $\kappa$ el sucesor, el cardenal de $\omega$ (por los resultados de Bousfield). Pero si es de forma compacta generado está claro para mí y esto es realmente lo que quiero saber, incluso si la inclusión $\mathcal{S}_\mathbb{Q} \subseteq \mathcal{S}$ no es necesariamente $\omega$-continuo.

Ahora, permítanme darles alguna indicación de por qué la respuesta podría ser 'sí': primero simplemente se conecta (o, más en general nilpotent) el espacio es racional si y sólo si su homotopy grupos son los únicos divisible. Esta propiedad es, obviamente, cerrado bajo filtrada colimits. Por lo tanto un filtrado colimit de simplemente conectado y racional de los espacios es de nuevo racional. Bousfield caracteriza la racionalidad arbitrarias de los espacios como una propiedad de homotopy grupos, pero esta propiedad es también homotopy teórica en la naturaleza por lo que soy incapaz de decidir si se conserva por filtrada colimits.

La segunda indicación es que uno puede estudiar la estable analógica de mi pregunta: es filtrada colimit racional de los espectros de nuevo racional. La respuesta es sí. Este es de hecho equivalente al hecho de que la racionalización es un gran localización. Esta observación también muestra que la clase de $\mathbb{S}/p$-local de los espectros de un primer $p$ no puede ser cerrado bajo filtrada colimits desde $p$-finalización no está rompiendo. Una consecuencia de ello es que el $\mathbb{F}_p$-espacios locales (un.k.una. $\mathbb{S}/p = M(\mathbb{Z}/p)$-espacios locales) no son cerrados bajo filtrada colimits.

Answer 1

La respuesta a esto, como resultado de algunas conversaciones con Thomas, resulta ser que no.

Considerar la abelian grupos $A_n = \Bbb Q[x]/(x^n)$. La multiplicación por $x$ incrusta $A_n$ a $A_{n+1}$, y la directa límite de la secuencia $$ A_0 \a A_1 \a \dots $$ es el grupo de $A_{\infty} \cong \Bbb Q[x^{\pm 1}] / \Bbb Q[x]$.

El grupo $\Bbb Q$ actos compatibilidad en el $A_n$ e $A_\infty$ si definimos $$ q \ast m = (1+x)^q m $$ donde $(1 + x)^q = \sum \binom{q}{n} x^n$ se define usando el teorema del binomio.

La acción de la $\Bbb Q$ en cada una de las $A_n$ es nilpotent: hay un número finito de filtración cuyas capas se actúa sobre trivialmente. De hecho, $\Bbb Q$ actos trivialmente en el cociente de los grupos de $A_n/A_{n-1} \cong \Bbb Q$ porque $x$ actos trivialmente en este grupo.

Por el contrario, la acción de la $\Bbb Q$ a $A_\infty$ es perfecto: para cualquier elemento $m \in A_\infty$, nos encontramos con $$ m = x (x^{-1} m) = 1 \ast (x^{-1} m) - (x^{-1} m) $$ y así, el conjunto de elementos de la forma $q \ast y - y$ generar todos los de $A_\infty$. Por lo tanto, $A_\infty / \Bbb Q = 0$.

Hay una secuencia de Eilenberg--Mac Lane espacios de $K(A_n,2)$ e $K(A_\infty,2)$ compatibles con las acciones de $\Bbb Q$, por ejemplo mediante el uso de un functorial la construcción de la E-M espacios. Podemos formar la Borel construcciones $X_\alpha = K(A_\alpha,2) \times_{\Bbb Q} E\Bbb Q$. Estos espacios tienen la propiedad de que $$ \pi_n X_\alpha = \begin{cases} \Bbb Q &\text{if }*=1,\\ A_\alpha &\text{if }*=2,\\ 0 & \text{otherwise}. \end{casos} $$ En particular, $X_\infty$ es el homotopy colimit de los espacios de $X_n$.

Cada una de las $X_n$ es nilpotent espacio: se ha abelian (de ahí nilpotent) grupo fundamental, el grupo fundamental de los actos nilpotently en la mayor homotopy grupos, y la homotopy grupos racional de los espacios vectoriales. Esto significa que $X_n$ tiene un Postnikov-tipo de construcción formado por iterativamente la toma de fibras de mapas a $K(\Bbb Q,m)$, y por lo $X_n$ es local con respecto a la racional de homología.

Por el contrario, $X_\infty$ no es local con respecto a la racional de homología. El hecho de que $\pi_1(X_\infty)$ actos perfectamente en $\pi_2(X_\infty)$ nos permite el uso de un análogo de Quillen del plus-de la construcción de encontrar un mapa $X_\infty \to Y$, adjuntando $3$-dimensional y $4$dimensiones de las células, que es un racional homología de isomorfismo, pero que induce a la cero mapa de $\pi_2(X_\infty) \to \pi_2(Y)$. En particular, el mapa de $X_\infty \to (X_\infty)_{\Bbb Q}$ a su racionalización factores a través de $Y$, por lo que debe enviar a todos los de $\pi_2$ a cero.