¿Por qué se hace tanto trabajo en la verificación numérica de la hipótesis de Riemann?

Question

He notado que hay una enorme cantidad de trabajo que se ha hecho sobre numéricamente la verificación de la hipótesis de Riemann para la más grande y más grande no trivial ceros.

No me refiero a preguntar una pregunta estúpida, pero ¿hay alguna razón en particular numéricos verificaciones de dar crédito a la verdad de la hipótesis de Riemann, o alguna manera de que los cálculos ayudar a demostrar la hipótesis (como sabemos, históricamente hipótesis y conjeturas que han tenido numérica de verificación hasta el punto donde parecía que deben ser cierto, pero las conjeturas que luego resultó ser falso, especialmente hipótesis relacionadas con los números primos y cosas por el estilo).

Hay algo especial acerca de esta hipótesis que hace que este tipo de argumento más poderoso de lo normal? Uno de ellos tendría que ser capaz de utilizar estos argumentos en algún lugar en el caso de una prueba de la hipótesis de que nunca podrán ser utilizados en la prueba a todos (y sí, hasta que se demuestre que no podemos saber que, seguro).

Answer 1

Las personas están interesadas en la computación de los ceros de $\zeta(s)$ y funciones relacionadas no sólo como soporte numérico para RH. Va más allá de RH, hay conjeturas sobre la distribución vertical de los ceros no triviales (después de "despliegue" ellos tienen una distancia media entre 1, suponiendo que están en una línea vertical, para empezar).

Odlyzko encontrado notables soporte numérico para tales conjeturas mediante la realización de cálculos con ceros muy alto de la línea crítica: cientos de millones de ceros alrededor de la $10^{20}$-th cero. Ver el Katz--Sarnak artículo aquí y mira la foto de la segunda y cuarta páginas. Estos de distribución vertical de las conjeturas no parecen convencer al trabajar con bajas ceros.

Si usted no está interesado en la consideración de gran escala estadísticas de la cero lugares, hay un pequeño refinamiento de RH que vale la pena tener en cuenta ya que los cálculos apoyo a RH se basa en: la (no trivial) los ceros de $\zeta(s)$ que se espera para ser simple ceros. Esto siempre ha vuelto a ser el caso numérico de trabajo, y los métodos utilizados para confirmar que todos los ceros en una región se encuentran exactamente en -- no sólo en las cercanías-la línea crítica no iba a funcionar en su forma actual, si un múltiplo de cero se han encontrado. La existencia de múltiples cero en la línea crítica sería, por supuesto, no violan RH, pero si alguien lo hizo detectar porque un cero-proceso de conteo no funciona (es decir, lo que sugiere que hay un doble cero en algún lugar en lo alto de la línea crítica), no sé si existe un algoritmo de espera en las alas que podría ser utilizado para probar un doble cero si existe un equipo que sugiere una posible ubicación. Creo que es más realista esperar que un equipo para detectar un múltiplo de cero que para detectar un contraejemplo de RH. Por supuesto, yo no se esperan realmente un equipo para detectar cualquiera de estos fenómenos, pero si tuviera que elegir entre ellos...

De Wikipedia, la tabla en su RH página, la última exhaustivas comprobaciones numéricas en HR (todos los ceros hasta cierta altura) ir hasta alrededor de las $10^{13}$-th cero. Hay otras conjeturas que se han probado numéricamente mucho más allá de $10^{13}$ puntos de datos, por ejemplo, el $3x+1$ problema ha sido comprobado para todos los enteros positivos de hasta $80 \cdot 2^{60} \approx 10^{19}$, Goldbach la conjetura ha sido seleccionada para el primer $2 \cdot 10^{18}$ números pares mayores que $2$, y el número de camas primer pares encontrado hasta el momento es de más de $8\cdot 10^{14}$. Con algunos de estos ejemplos en mente, no estoy de acuerdo en que el número de pruebas de RH es fuera de línea con hasta qué punto la gente está dispuesta a dejar que sus equipos de ejecutar para probar otros problemas abiertos.

Answer 2

Me gustaría añadir un par de comentarios más a la muy pertinente de arriba:

1: Tenemos la suerte de tener dos cosas en las que trabajar en nuestro favor - una excelente representación de $\zeta$ en la línea crítica por una simple función real (simple hasta una buena aproximación, aproximación generalmente se llama la de Riemann Siegel fórmula) - el Hardy función, $Z(t)$ multiplicada por una función de valor absoluto $1$, de manera crítica los ceros de un muy complicado trascendental función compleja ($\zeta(s)$) también son los ceros de una forma mucho más simple función real, $Z(t)$, los ceros que puede determinarse con gran exactitud.

2: también Somos afortunados de tener una muy precisa de la fórmula (Riemann-von Mangoldt) que determina con perfecta exactitud el número de ceros en la crítica de la tira hasta un fijo atado en la parte imaginaria, por lo que poner 1 y 2 juntos llegamos a la conclusión de que RH es cierto hasta alta parte imaginaria de los límites mediante el cálculo de los ceros en la línea crítica con 1 y mostrando que hay muchos ceros en el pleno de la tira hasta que nivel 2:

3: Hay una dualidad entre el $\zeta$ no trivial de los ceros y los primos que permite, al menos, tratar de investigar algunos de los problemas sobre el uso de los números primos $\zeta$ ceros en su lugar, por lo que tener una enorme base de datos de ejemplo podría ser bastante útil, al menos potencialmente

Answer 3

Parte de la cuestión es que tales comprobaciones numéricas pueden ser manifestaciones de la eficiencia de este o ese nuevo algoritmo. Sin embargo, también se da el caso de que un número finito de verificación (que todos los ceros de $\zeta(s)$ con $\Im(s)\leq T$, dicen, se encuentran en la línea crítica) pueden ser utilizados en las pruebas de las otras declaraciones, siempre que sea riguroso.

Para el caso, el cómputo de la primera $n$ ceros de la de Riemann zeta función puede ser utilizada para disprobar otra conjetura. Tomemos, por ejemplo,

Odlyzko, A. M., & te Riele, H. J. J. (1985). La refutación de la conjetura de Mertens. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 357, 138-160.