Antecedentes: En 1961, Roos (que, lamentablemente, al parecer, falleció el mes pasado) pretendía demostrar [1] que en un abelian categoría con exacta contables de los productos (AB4${}^\ast_\omega$), los límites de la inversa de los sistemas de epimorphisms son exactas [2] [3]. El resultado puso de 41 años antes de Neeman publicado un contraejemplo en el año 2002. Influenciado por el Gabber, Roos publicó una declaración corregida unos años más tarde: en un abelian categoría arbitraria co-productos (AB3) y exactas contables de los productos (AB4$^\ast_\omega$), que contiene un generador, los límites de la inversa de los sistemas de epimorphisms son exactas [4].
Pregunta: En ninguno de los Neeman del papel ni en Roos' 2006 de papel puedo encontrar una discusión de la que en su 1961 papel Roos en realidad comete un error. ¿Alguien puede arrojar alguna luz sobre esto?
Notas:
[1] no puedo encontrar una copia de Roos " de papel en línea. La cita es
Roos, Jan-Erik (1961). "Sur les foncteurs dérivés de lim. Aplicaciones". C. R. Acad. Sci. París. 252: 3702-3704. MR 0132091.
[2] Por un "inversa sistema" $X^\bullet$, me refiero a un diagrama de $\dots \to X^n \to X^{n-1} \to \dots$ indexados por $\mathbb N$ (o $\mathbb Z$ -- no hacer una diferencia). Por un "inversa sistema de epimorphisms" $X^\bullet$, me refiero a la inversa sistema en el que cada mapa de $X^n \twoheadrightarrow X^{n-1}$ es un epimorphism. En un abelian categoría $\mathcal C$ con contables de los productos (AB3$^\ast_\omega$), hay un límite functor de inversa de los sistemas en $\mathcal C$, a $\mathcal C$, que está a la izquierda exacta. Si el conteo de los productos en $\mathcal C$ son exactas (AB4$^\ast_\omega$), entonces existe un natural de dos término complejo de $\prod_n X^n \to \prod_n X^n$ que puede ser usado para derivar el límite functor (la resultante de $\delta$-functor es effaceable a través del mapa de $X^\bullet \to \prod_{n \leq \bullet} X^n$ donde el último complejo utiliza las proyecciones de la estructura de los mapas); debido a que este complejo tiene dos términos, la derivada de functors $\varprojlim^d X^\bullet$ desaparecen para $d > 1$. Cuando digo que $X^\bullet$ es exacto, me refiero a que $\varprojlim^1 X^\bullet = 0$. Creo que entiendo cómo argumentar que si $X^\bullet$ es un epimorphic sistema en un AB4$^\ast_\omega$ categoría e $\varprojlim^1 X^\bullet = 0$, entonces el mapa de $\varprojlim X^\bullet \twoheadrightarrow X$ es un epimorphism para cada una de las $n$ (en realidad es al revés implicación que tiene); cuando Roos teorema sostiene, esta es una formulación de resultados, en la que no se menciona la $\varprojlim^1$.
[3] Hay una fuerte declaración sobre Mittag-Leffler secuencias; déjame seguir con la declaración sobre inversa sistemas de epimorphisms por la simplicidad.
[4] En los comentarios aquí Leonid Positselski puntos que Roos " prueba de hecho establece que este tiene más en general, en cualquier AB4$^\ast_\omega$ categoría con suficiente proyectiva effacements (yo no había oído hablar de este concepto hasta hace poco, pero es justo ahí, en el Tohoku-en realidad, lo suficiente como local proyectiva effacements es suficiente). De esta forma, la declaración es en realidad bastante sencillo de probar.
