Supongamos $k$ es un campo, $A$ $k$- subalgebra de la polinomio anillo de $k[x]$. Debe $A$ ser un finitely generadas $k$-álgebra?
Gracias.
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iAn
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Si $A=k$, no necesitas nada para probar. Asumimos $f\in A$ monic no constante, entonces $k[x]$ integral $k[f],$ $k[x]$ es un noetherian $k[f]$-módulo. De ello se desprende $A$ es también un noetherian $k[f]$-módulo, lo $A$ es un finitely generadas $k$-álgebra.
Observación. Si uno utiliza la Artin-Tate lema podemos conseguir directamente $A$ es un finitely generadas $k$-álgebra.
Me acordé de que he contestado a esta pregunta en mi tesis de Maestría, pero por desgracia no recuerdo todos los detalles. Lo acabo de copiar de mi tesis:
En [1], Robbiano Sweedler probar que cada subalgebra de la polinomio anillo en una variable tiene un número finito de SAGBI base (SAGBI = Subalgebra Analógica de las Bases de Gröbner para Ideales). Desde un SAGBI base, tal como se define en [1], siempre es un set de generación de energía de la subalgebra, se sigue que cada subalgebra de $k[x]$ es finitely generado.
[1] L. Robbiano M. Sweedler, Subalgebra bases. En: álgebra Conmutativa (el Salvador 1988), páginas 61-87, Springer, 1990.
La obvia pregunta es si hay una prueba de que no hace uso de estas lujosas SAGBI bases. Voy a escribir de nuevo, si puedo encontrar una respuesta a eso. La cosa importante a saber sobre ellos es, sin embargo, que un SAGBI base para una subalgebra es un set de generación de energía con ciertas propiedades muy adecuado para los cálculos.
