No es esta vieja resultado por Freyd que "homotopy no es concreta":
Freyd, Pedro. "Homotopy no es concreto." El Álgebra de Steenrod y Sus Aplicaciones: Una Conferencia para Celebrar NE Steenrod del Sexagésimo Cumpleaños. Springer Berlin Heidelberg, 1970.
En 2017 decimos que
- hay un homotopical categoría $(\bf Top, \cal W)$, de tal manera que la localización de la ${\bf Top}\!\!\left[{\cal W}^{-1}\right]$ no ($\bf Set$-)de hormigón.
El resultado clave aquí es el siguiente lema, llamado "Isbell condición":
Para $f\in {\cal A}/A$ un objeto de la rebanada de la categoría, vamos a $C(f,B)$ ser la clase de los pares de $u,v : A \to B$ tal que $uf=vf$ como morfismos $\text{src}(f) \to A \to B$.
Definir una relación de equivalencia $\asymp$ a $({\cal A}/A)_0$ que dice $f\asymp g$ fib $C(f,B)=C(g,B)$ por cada $B\in\cal A$, y deje $\textsf{S}({\cal A}/A)$ el cociente $\left({\cal A}/A\right)_{0,/\asymp}$.
Isbell condición: $\cal A$ es de hormigón si y sólo si $\textsf{S}({\cal A}/A)$ es un conjunto para cada $A\in\cal A$.
Si usted sigue el desarrollo de este, encontrará otra, ligeramente mayor de papel
Freyd, Pedro. "En la concreción de determinadas categorías." Simposios Mathematica. Vol. 4. 1969.
que se desarrolla un poco esta tecnología, y contiene (Thm 4.1) un resultado que en el año 2017 podemos escribir como
- la localización de la ${\bf Cat}\!\!\left[\text{Eqv}^{-1}\right]$ de la categoría de categorías de equivalencias (es decir, el homotopy categoría $\textsf{Ho}({\bf Cat}_\text{folk})$ no es concreto.
Ahora, después de Christie meta-teorema es fácil preguntarse si hay un patrón, y tal vez una prueba, aquí.
Freyd del teorema es tan antigua como la Quillen la definición de un modelo de la categoría, así que dudo que Freyd ignora que puede hacer la siguiente pregunta:
- Deje $\mho$ ser un universo. Si $\cal M \in {\bf Cat}$ es localmente $\mho$-pequeño y tiene un modelo de estructura, de cómo a menudo es la localización de la $\textsf{Ho}(\cal M)$ a ($\mho\text{-}\bf Set$-)hormigón categoría?
(Uno podría argumentar que este resultado realmente pertenece al mundo de la homotopical categorías y deben ser establecidos en el mismo: debería, pero un modelo de estructura es muy dócil de manejar).
Así:
- Nadie ha atacado este problema con la tecnología moderna?
- ¿Crees que la anterior es una valiosa pregunta?
- Yo creo que es, porque
- Cada categoría que rompe Isbell condición (digamos que es un "no-Isbell categoría" en aras de la brevedad) parece bastante desagradable. Y, sin embargo, su homotopy teoría puede ser bien entendido. Isbell enfermedad en sí misma se expresa en términos de la teoría de conjuntos de $\cal A$ e es (como era de esperar) vinculado a $\cal A$ tener "agradable" de la factorización de sistemas ("agradable" aquí significa correcta+algo; ¿ alguien explícitamente probar esto, tal vez incluso Freyd?). Así que uno puede "prever" si $\cal M$ tienen un no-hormigón localización demostrando que no hay ningún homotopy-niza de la factorización de sistema de $\cal M$ (una factorización de sistema de $\cal M$ es homotopy-bueno si es un homotopy FS en el sentido de Bousfield, y el FS inducida por $\textsf{Ho}(\cal M)$ es buena).
- Todas estas categorías parecen existir (pero voy a estar feliz de ver que refutar mí, especialmente en el trivial de los casos):
- una concreta categoría cuya localización es de hormigón
- un no-hormigón categoría cuya localización es de hormigón
- un no-hormigón categoría cuya localización no es de hormigón
- una concreta categoría $\cal M$ cuyo allocalization ${\cal M}[\text{All}^{-1}]$ es no-hormigón
- un no-hormigón categoría $\cal M$ cuyo allocalization ${\cal M}[\text{All}^{-1}]$ es de hormigón
- un no-hormigón categoría $\cal M$ cuyo allocalization ${\cal M}[\text{All}^{-1}]$ es no-hormigón
- una concreta categoría $\cal M$ cuyo allocalization ${\cal M}[\text{All}^{-1}]$ es no-hormigón
- Hay un problema interesante: cada categoría es un cociente de un hormigón categoría (Kučera, la JPAA 1971, enlace). Es cada categoría a la localización de una de concreto?
- Si $\textsf{Ho}(\cal M)$ no es concreto, no debe ser una propiedad $P$ de % de $\cal M$ prevenir $\textsf{Ho}(\cal M)$ a ser Isbell. Parece obvio que cada categoría $\cal N$ que es Quillen equivalente a $\cal M$ ha $P$, y Freyd de la tecnología parece ser más bien un contexto específico, hasta el punto de que es difícil creer que $P$ puede ser transportado a lo largo de la contigüidad del Quillen equivalencia. O tal vez es, bajo adecuado supuestos?
