Sobre una hipótesis cuántica de Riemann

Question

Robin del teorema (1984) afirma que

$$ \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n$$ para todos los $n > 5040$ si y sólo si la hipótesis de Riemann es cierto.

Recordemos que $γ$ es el de Euler–Mascheroni constante y $σ(n)$ es el divisor de la función, dado por $$\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d.$$

Para formular un cuántica de la hipótesis de Riemann, vamos a utilizar Robin y teorema de los siguientes hechos:

• un número natural $n$ pueden ser codificadas en el grupo cíclico $C_n$
• un grupo finito $G$ pueden ser codificadas en el finito índice irreductible de la profundidad de $2$ subfactor $R \subseteq R \rtimes G$
• un finito índice irreductible subfactor $N \subseteq M$ puede ser codificado en un plano de álgebra $\mathcal{P}$.

Para la justificación de que el calificativo de "quantum", consulte el artículo siguiente:

Jones, Stevie Ray Vaughan. Sobre el origen y desarrollo de los subfactores cuántica y la topología. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. (N. S.) 46 (2009), no. 2, 309--326.

Galois correspondencias:

• los divisores $d\mid n$ son $1$-$1$ con los subgrupos $H \subseteq C_n$,
• los subgrupos $H \subseteq G$ son $1$-$1$ con el intermedio subfactores $R \subseteq K \subseteq R \rtimes G$,
• el intermedio subfactores $N \subseteq K \subseteq M$ son $1$-$1$ con el biprojections $b \in [e_1,id]$.

Las notaciones partido de la siguiente manera:

• $n = |G| = [M:N] = |id : e_1|$,
• $d = |H| = [K:N] = |b : e_1|$.

La igualdad de $|G| = |G:H| \cdot |H|$ se extiende a $|id : e_1| = |id:b| \cdot |b:e_1|$.

En general, $|id : e_1|$ no es necesariamente un entero, pero (por Jones' teorema) puede ser cualquier elemento en
$$\{4\cos^2(\pi /n)|n=3,4,5,...\}\cup [4,+\infty).$$

Deje $\mathcal{P}$ ser una irreductible subfactor plana álgebra. Definimos el analógico de la serie de divisores por $$D(\mathcal{P}) := \{|b : e_1| \text{ with } b \in [e_1,id] \},$$ (que es finito por Watatani del teorema) y el análogo de la función de divisor
$$\sigma(\mathcal{P}) := \sum_{\beta \in D(\mathcal{P})} \beta.$$

Quantum Hipótesis de Riemann (de profundidad $n$)

No es $\alpha_n>0$ tal que para cada irreductible de la profundidad de $n$ subfactor plana álgebra $\mathcal{P}$ con $\alpha:=|id : e_1|> \alpha_n$, tenemos $$\sigma(\mathcal{P}) < e^\gamma \alpha \log \log \alpha.$$

Por supuesto, una prueba de ello cuántica de la Hipótesis de Riemann (QRH) no se espera una respuesta de este post, porque implica la costumbre Hipótesis de Riemann (RH).

Para el caso del grupo, QRH sigue de RH, porque para $\sigma(G):=\sigma(\mathcal{P}(R \subseteq R \rtimes G))$, tenemos $\sigma(G) \le \sigma(|G|)$ por del teorema de Lagrange. Idem si $|id:b|$ e $|b:e_1|$ son enteros $\forall b \in [e_1,id]$, como el irreductible de la profundidad de $2$, porque entonces,$\sigma(\mathcal{P}) \le \sigma(|id : e_1|)$.

Vamos a denotar QRH de profundidad $n$ por QRH$_n$. Entonces, QRH$_2 \Leftrightarrow$ RH, y podemos tomar $\alpha_2 = 5040$.

Pregunta: ¿RH implica QRH$_n \ \forall n \ge 2$? O, ¿ves un contraejemplo para algunos $n$?

Pregunta extra: Si QRH$_n$ true $ \forall n \ge 2$, puede que la secuencia de $(\alpha_n)$ estar acotada?

Answer 1

Puede usted aclarar si existe una noción de producto directo en esta configuración con las propiedades deseadas?

Si es así, el asymptotics se predicción sólo parecen consistentes con la hipótesis de que no hay tales objetos además de los grupos. (Supongo que en realidad existe o no se hacen esta pregunta.) La primera versión de este post sugirió tomar la suma directa de los muchos factores de tamaño de menos de $4$, y el OP dijo que este no era válido porque la mayoría de ellos no han "limitado profundidad." Justo lo suficiente. Pero si usted toma directa de productos de muchos de los subfactores de pequeños índices que tienen la propiedad de que son "coprime" entonces parece que puede superar fácilmente a su deseada vinculado a menos que la única novedad de los objetos también tienen racional de los pedidos. Aquí está una muy débil explícita versión de esta idea mediante un único objeto nuevo.

Es saber que $\displaystyle{\sup \frac{\sigma(n)}{e^{\gamma} n \log \log n} = 1}$. Tomar una $\alpha$ para que la relación es muy cercana a $1$. Cómo cerrar será claro por debajo.

Deje $X$ ser el objeto procedente de la cíclico grupo $C_{\alpha}$. Ahora vamos a $Y$ ser cualquier otro objeto cuyo índice es un número $\eta$ que no es un número racional (suponiendo que exista), y deje $Z = X \times Y$ (suponiendo que exista), y deje $\beta = \alpha \eta$ ser el índice de $Z$. Parece (considerando los subgrupos de $C_{\alpha}$, y los subgrupos suma directa de con $Y$), y el uso de ese $\eta$ no es racional, que

$$\sigma(Z) \ge \sigma(X) + \eta \sigma(X) \sim (1 + \eta) e^{\gamma} \alpha \log \log(\alpha) \sim \left(1 + \frac{1}{\eta}\right) e^{\gamma} \beta \log \log(\beta),$$

y el QRH es falso.