Patrones entre puntos de distancia entera

Question

Marque cada punto de $\mathbb{N}^2$ ($\mathbb{N}$ los números naturales) si su Distancia euclidiana desde el origen es un número entero. Se obtiene una trama como esta, simétricas respecto a la $45^\circ$ diagonal.

Hay evidencia de que los patrones de aquí. Las líneas rectas por el origen se derivan a partir de escalas de ternas Pitagóricas: el $(3,4,5)$ triángulo, el $(5,12,13)$ triángulo, el $(8,15,17)$ triángulo, etc. Pero otros patrones son discernibles, algunos de los cuales tal vez estoy alucinando:

Hacer estos patrones reflejan Diophantine curvas de densidad en el entero de la distancia de los puntos? En qué medida es, en cierto sentido, toda esta trama (extendido indefinidamente) entiende como una unión de esas curvas? O ¿aún hay incógnitas que acechan en aquí, es decir, no son esporádicos puntos sin, aún sin aparente lógica detrás de su apariencia?

_{(Tangencialmente relacionado con el MO pregunta, "Entero distancia conjuntos".)}

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Addendum

. Ahora está claro (después de mirar las parcelas se extiende más) que el azul y el color tostado de las curvas son en realidad uno, el cruce de la diagonal, y no se queden atrapados fuera como se les llamó.

Answer 1

Así que, como Igor puntos, habrá una curva con $k+1$ celosía puntos de $(k^2-t^2,2kt)$ ejecución de $(k^2,0)$ a $(0,2k^2).$ a Llamar a esto el $k$-curva o mejor el $(k,m)=(k,1)$ curva como también hay $k+1$ celosía puntos de $(m(k^2-t^2),2ktm).$ De curso sólo tiene sentido considerar la $m$ plaza libre.

Se identifica correctamente la curva de color rojo, como muy mucho de ser la $(38,1)$ curva. Una ligera pregunta que surge es ¿por qué parece más prominente que la $(37,1)$ o $(39,1)$ curva. Mi menor, además es de señalar que $38^2=1444$, $5\cdot17^2=1445$ y $10 \cdot 12^2=1440$, por lo que en realidad estamos viendo el $(38,1),(17,5)$ e $(12,10)$ curvas de pile. Quizás también el hecho de que $3\cdot22^2=1452$ es lo suficientemente cerca como para lanzar en el $(22,3)$ curva tan bien. Que debe dar a $39+18+13+23=93$ celosía puntos. Que es lo que me globo ocular como "cerrar".

También: $2\ 27^2=1458$, por lo que estos $28$ puntos probablemente debería ir en la curva de color rojo o de otra forma, una muy cerca, casi en paralelo, la curva con el $23$ puntos de $1452$. Por supuesto, el "extra" los puntos sobre los ejes tal vez debería ser descartado pero que linda con argucias.

Curvas similares a la roja, pero no es tan dramático, parece ser aproximadamente el $733$ e $850.$ Les última parece ser de $29^2=841$ junto con $5\cdot13^2=845.$ tal vez el primero es de de $27^2=729$ junto con $5 \cdot 12^2=720$ a pesar de que puede haber perdido una mejor explicación.

Me gustaría esperar algo de $41^2+1=2\cdot 29^2$ y parece vagamente de ser perceptible.

Esto todavía deja otros colores a explicar.

Más TARDE

Veamos la imagen de la transformación de $(u,v,m) \rightarrow (m(u^2-v^2),2muv)=(x,y).$ Aquí tomamos enteros $u \gt v \gt 0$ e $m$ plaza libre. Los puntos resultantes se han integral distancia $\sqrt{x^2+y^2}=m(u^2+v^2)$ desde el origen. Tenemos todos los puntos en el cuadrante positivo (algunos más de una vez). Para cada valor fijo de $m$, líneas en el $u,v$ avión a ir a quadrics en el $x,y$ plano. Me voy a centrar en el más simple de los casos (ya que no he trabajado el resto) $u=k$,v=k$,u-v=k$ e $u+v=k$

• (La curva de color rojo) Por $u=k$ tenemos $k-1$ puntos $(x,y)=(m(k^2-v^2),2mkv)$ en la curva de $y=\sqrt{(4mk^2)(mk^2-x)}.$ Buscando en todos los posibles valores de $ms^2 \lt 50000$ con $s \ge 10,$ a los cinco valores consecutivos $[10 \cdot 12^2,1\cdot38^2,5\cdot17^2,3\cdot22^2,2\cdot27^2]=[1440,1444,1445,1452,1458]$ destacan como especialmente cerca juntos. Las curvas correspondientes a todas ejecutar aproximadamente de $(0,2800)$ a $(1400,0)$ y tener una separación vertical de alrededor de $36$ a $x=300$ creciendo a alrededor de $46$ por $x=1100$. El único caso en el que el intervalo de $5$ valores consecutivos separados por menos de $18$ es $17$ durante los primeros 5 de la impresionante séptuple $[2873, 2880, 2883, 2888, 2890, 2900, 2904]$. Por mi conteo aproximado, hay alrededor de $111$ puntos en el primer grupo de cinco curvas y $149$ en el segundo grupo de siete curvas , que son aproximadamente dos veces tan de largo. Esto explica por qué los siete curvas de aumento de la $x$-eje no son tan descarada.

• (el invisible de la curva) Por $v=k$ tenemos una secuencia infinita de puntos de $(x,y)=(m(u^2-k^2),2muk)$ en la curva de $y=\sqrt{4mk^2(mk^2+x)}.$ El mismo cinco valores como antes debe dar algo visible si uno de los ejes o el otro fue empujado a $5000$ o, al menos, $4000.$

• (el azul-oro de la curva y la curva verde) Poniendo en $u=v+j$ a $(x,y)=(2muv,m(u^2-v^2))$ obtenemos una secuencia infinita de puntos en la curva de $y=\sqrt{(2mj^2)(mj^2+x)}.$ Esta curva para $(m,j)=(2s,t)$ es lo mismo que $y=\sqrt{4mk^2(mk^2+x)}$ para $(m,k)=(s,t).$ sin Embargo impar valores de $m$ permitir nuevas curvas. El uso de $(m,j)=(5,12),(2,19),(6,11)$ e $(1,27)$ da puntos en las cuatro curvas de $\sqrt{1440x+518400}, \sqrt{1444x+521284}, \sqrt{1452x+527076},\sqrt{1458x+531441}.$ La curva verde es el resultado de $(m,j)=(2,29),(10,13),(14,11),(17,10)$ lleva a las curvas de $\sqrt{2829124+3364x}, \sqrt{2856100+3380x}, \sqrt{2869636+3388x}, \sqrt{2890000+3400x}$

• Poner a $u=j-v$ a $(x,y)=(2muv,m(u^2-v^2))$ tenemos acerca de $\frac{j}{2}$ puntos en la curva de $y=\sqrt{(2mj^2)(mj^2-x)}.$ La curva de $(m,j)=(2s,t)$ es el mismo que el de la curva de $y=\sqrt{(4mk^2)(mk^2-x)}$ con $(m,k)=(s,t).$ I no de inmediato se ve en el color de las curvas mencionadas.

Answer 2

Aquí están Aarón Meyerowitz's cuatro de los cinco "amontonados" en las curvas. Rojo=$(38,1)$, Verde=$(17,5)$, Azul=$(12,10)$, Marrón=$(22,3)$, Amarillo=$(27,2)$:
     

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Y aquí están Brendan Murphy's curvas, $(-29^2+t^2,58 t)$ que corresponde a la verde, y $(-19^2 + t^2,38t)$ el seguimiento de mi original de oro + azul curvas.
     

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Y a continuación me siga pablo Monskysugerencia y mostrar $\mathbb{Z}^2$, por lo que las parábolas son más visibles:
   

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Más análisis por Aarón. El rojo de las curvas de abajo se $y=2 \cdot 38 \sqrt{38^2 -x}$ (además de la reflexión sobre $x=y$), y el azul de las curvas de $y=2 \cdot 19 \sqrt{19^2 +x}$ (más de reflexión):
     
(Los puntos muestran Brendan Murphy's curvas, anteriormente ilustrado.)

Answer 3

Estoy un poco confundido. Estás pidiendo soluciones a$p^2 + q^2 = d^2,$ si no me equivoco. Si las soluciones deben ser relativamente primas, hay una parametrización bien conocida de los pares$(p, q),$, es decir,$(2u v, u^2-v^2)$, y, por supuesto, el conjunto simétrico$(u^2-v^2, 2 u v)$ (y las imágenes cambian$u$ y$v.$). Las soluciones no relativamente primas son múltiplos de estos. Entonces, presumiblemente las curvas que está viendo son curvas racionales que provienen de esto, y llenan todo el espacio de la solución.

Answer 4

Aquí están las diversas curvas de mi respuesta:

Answer 5

No tengo una explicación, pero algunos consejos, y de hecho esto empezó como un comentario largo. A mí me parece que hay una modelización cuestión que debe aclararse antes de abordar la matemática variacional del problema. ¿Por qué nuestro cerebro preferiblemente reunir a algunos de los subconjuntos de puntos en un arco de curva, dentro de todo el conjunto de los puntos marcados en un $N\times N$ plaza? En otras palabras, lo que más cuenta a la hora de hacer un subconjunto más reconocible como una curva a nuestros ojos? Supongo que, debido a que la curva contiene más puntos que el otro, en comparación con su longitud. Pero posiblemente eso no es todo, como por ejemplo, una elipse es más visible que otro random zig-zag de la curva con la misma longitud y el número de puntos marcados.

Así que esto también puede llegar a ser un interesante experimento para comprobar una posible respuesta a la pregunta anterior sobre el fenómeno fisiológico. Para grandes enteros $N$ considera razonable "visibilidad" funcional $J_N(\alpha)$ definido en las curvas de $\alpha:[0,1]\to [-N,N]\times [-N,N]$: por ejemplo, el número de puntos marcados en la curva de $\alpha$ dividido por su longitud. Son la maximización de las curvas de la que hemos hecho ver, e.g los rojos? ¿Que trabajo funcional para otro conjunto de "puntos marcados" de Pitágoras pares?