Una identidad trigonométrica conjetural

Question

Recientemente, he formulado la siguiente conjetura, que parece de novela.

Conjetura. Para cualquier entero impar positivo $n$, tenemos la identidad $$\sum_{j,k=0}^{n-1}\frac1{\cos 2\pi j/n+\cos 2\pi k/n}=\frac{n^2}2.\tag{1}$$

El uso de la teoría de Galois, veo que la suma es un número racional. La identidad de $(1)$ tiene algún equivalente versiones, por ejemplo, $$\sum_{0\le j<k\le n-1}\frac1{\cos 2\pi j/n+\cos 2\pi k/n}=\frac n4\left(n-(-1)^{(n-1)/2}\right)\tag{2}$$ y $$\sum_{1\le j<k\le n-1}\frac1{\cos 2\pi j/n+\cos 2\pi k/n}=-\frac{n-(-1)^{(n-1)/2}}4\left(n+(-1)^{(n-1)/2}2\right).\tag{3}$$ Es fácil comprobar la $(1)$-$(3)$ numéricamente.

Pregunta. Cómo probar la conjetura?

Sus comentarios son bienvenidos!

Answer 1

Deje $T_n$ ser $n$-ésimo polinomio de Chebyshev, por lo que $$T_n(x)-1=\prod_{j=1}^n(x-\cos 2\pi j/n).$$ Tomando un logarítmicas derivadas hemos $$\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{x-\cos 2\pi j/n}=\frac{T_n'(x)}{T_n(x)-1}.$$ Para $x=-\cos 2\pi k/n$, encontramos fácilmente $T_n(x)=-1$. Por tanto, tenemos $$\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{\cos 2\pi k/n+\cos 2\pi j/n}=\frac{T_n'(-\cos 2\pi k/n)}{2}.$$ Ahora la derivada de $T_n$ es igual a $nU_{n-1}$, donde $U_{n-1}$ es el polinomio de Chebyshev de la segunda clase, la satisfacción de $U_{n-1}(\cos t)=\frac{\sin nt}{\sin t}$.

Para $k\neq 0$, a $t=2\pi k/n+\pi$, por lo que $\cos t=-\cos 2\pi k/n$, obtenemos $U_{n-1}(-\cos 2\pi k/n)=\frac{\sin(2\pi k+n\pi)}{\sin(2\pi k/n+\pi)}=0$. Para $k=0$, tenemos que tener un límite en el $t\to\pi$ y nos encontramos con $U_{n-1}(1)=n$. Por lo tanto, tenemos $$\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{\cos 2\pi k/n+\cos 2\pi j/n}=\frac{T_n'(1)}{2}=\frac{n^2}{2}.$$

Answer 2

Denotar $\omega=e^{2\pi i/n}$, a continuación, $\Omega=\{\omega^k:k=0,\ldots,n-1\}$ es el conjunto de las raíces del polinomio $f(t):=t^n-1$, $-\Omega=\{-\omega^k:k=0,\ldots,n-1\}$ el conjunto de raíces de $g(t):=t^n+1$. Empezamos con la identidad $$ \eta(t):=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{t+\omega^k}=\frac{g'(t)}{g(t)}=\frac{nt^{n-1}}{t^n+1}. \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1) $$ Su primera suma es $$2\sum_{j,k=0}^{n-1}\frac1{\omega^k+\omega^{-k}+\omega^j+\omega^{-j}}=2\sum_{j,k=0}^{n-1}\frac1{(\omega^k+\omega^{j})(1+\omega^{-j-k})}.$$ Fix $j+k\equiv a\pmod n$, y cambiar el orden de la suma de $(j,k)$ a $(a,k)$. Tenemos $$ \sum_{a=0}^{n-1}\frac1{1+\omega^{-a}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac2{\omega^k+\omega^{- k}}. $$ Considere el interior de la suma. Denotar $t_{\pm}(a)=\pm i\omega^{a/2}$ , de modo que $$\frac2{\omega^k+\omega^{a-k}}=\frac1{\omega^k+t_+(a)}+\frac1{\omega^k+t_-(a)}$$ y por (1), llegamos a la $$ \sum_{k=0}^{n-1}\frac2{\omega^k+\omega^{a-k}}=n\left(\frac{t_+(a)^{n-1}}{t_+(a)^n+1}+\frac{t_-(a)^{n-1}}{t_-(a)^n+1}\right)=nt_+(a)^{n-1}=n(-1)^{\frac{n-1}2}\omega^{\frac{n-1}2}. $$ Por lo que sigue siendo para calcular la suma $$ n(-1)^{\frac{n-1}2}\sum_{a=0}^{n-1} \frac{\omega^{\frac{n-1}2}}{1+\omega^{-a}}= n(-1)^{\frac{n-1}2}\sum_{z\in \Omega}\frac{z^{\frac{n+1}2}}{1+z}. $$ Denotar $m=\frac{n+1}2$. Tenemos $$ \sum_{z\in \Omega} \frac{z^m}{z+1}= \sum_{z\in \Omega} \frac{z^m-(-1)^m+(-1)^m}{z+1}= (-1)^m\cdot \frac{n}2+\sum_{z\in \Omega} (z^{m-1} z^{m-2}+\ldots+(-1)^{m-1})=\\ (-1)^m\cdot \frac{n}2+(-1)^{m-1}\cdot n=(-1)^{m-1}\cdot \frac{n}2 $$ y tu conjetura de la siguiente manera.

Answer 3

El siguiente argumento es muy corto, pero poco complicado, así que me quedo con la respuesta anterior.

En realidad esta suma rapidez factorizes: el uso de $\cos (x+y)+\cos (x-y)=2\cos x\cos y$ y denotando $(j+k)\cdot \frac{n+1}2=a,(j-k)\cdot \frac{n+1}2=b$ obtenemos $$\cos 2\pi j/n+\cos 2\pi k/n=2\cos 2\pi a/n \cdot \cos 2\pi b/n.$$ Aquí $j, k, a, b$ pueden ser considerados como residuos modulo $n$ ($\cos 2\pi a/n$ sólo depende de $a$ modulo $n$), y el mapa de $(j,k)\mapsto (a,b)$ es bijective en $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$, lo que $$ 2\sum_{j,k=0}^{n-1}\frac1{\cos 2\pi j/n+\cos 2\pi k/n}=\sum_{a,b=0}^{n-1}\frac1{\cos 2\pi/n\cdot \cos 2\pi b/n}=\left(\sum_{a=0}^{n-1}\frac1{\cos 2\pi/n}\right)^2. $$ Queda por calcular la suma de $\sum_{a=0}^{n-1}\frac1{\cos 2\pi a/n}$. Denotando $\omega=e^{2\pi i/n}$ tenemos $$ \sum_{a=0}^{n-1}\frac1{\cos 2\pi/n}=\sum_{a=0}^{n-1}\frac{2\omega^a}{1+\omega^{2a}}= \sum_{a=0}^{n-1}\frac{\omega^a+\omega^{(2n+1)}} {1+\omega^{2a}}=\\ \sum_{a=0}^{n-1} (\omega^a-\omega^{3a}+\dots+(-1)^{(n-1)/2}\omega^{na}+\dots+\omega^{(2n-1)})=(-1)^{(n-1)/2}n, $$ desde el progresiones geométricas $\sum_{a=0}^{n-1} \omega^{ma}$ la suma de hasta $$\sum_{a=0}^{n-1} \omega^{ma}=\begin{cases}0& \text{for}\, m\, \text{not divisible by}\, n\\ n& \text{for}\, m\, \text{divisible by}\, n. \end{casos}$$