Que, en su caso, los axiomas de ZFC son conocidos por no ser derivable a partir de los otros axiomas?
Que, en su caso, los axiomas de la PA se sabe que no se deriven a partir de los otros axiomas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Hay varias cuestiones interesantes aquí.
La primera es que hay diferentes axiomatizations de PA y de ZFC.
- Si usted mira de varios teoría de conjuntos libros se pueden encontrar varios conjuntos de axiomas llamado "ZFC". Cada uno de estos conjuntos es equivalente a cada uno de los otros juegos, pero tienen sutilmente diferentes axiomas. En conjunto, el axioma esquema de comprensión puede seguir desde el axioma esquema de sustitución; en otro conjunto de axiomas puede que no. Que hace que el asunto de la independencia más difícil de responder, en general, para ZFC; usted tiene que mirar realmente el particular conjunto de axiomas que se utiliza.
- PA tiene dos diferentes común axiomatizations. Para el resto de esta respuesta voy a suponer que el axiomatization de Kaye el libro de los Modelos de la Aritmética de Peano , que se basa en los axiomas para una discretamente ordenó semring.
El segundo problema es que tanto la autoridad palestina y de ZFC (en cualquiera de sus formas) tiene un número infinito de axiomas, porque ambos tienen infinitos esquemas de axioma. Por otra parte, ni PA ni ZFC es finitely axiomatizable. Lo que significa, en particular, que, dado cualquier número finito de axiomas de una de estas teorías, hay algún otro axioma que no es demostrable en el conjunto finito.
Tercero, sólo para ser pendantic, debo señalar que, a pesar de PA y de ZFC son aceptados para ser coherente, si ellos fueron inconsistentes, entonces cada axioma seguiría de un mínimo de un incoherente conjunto de axiomas. El efecto práctico de esto es que cualquier prueba de independencia tiene que demostrar la consistencia de la teoría a la mano, o asumir.
Aparte de estas consideraciones, hay otras cosas que se puede decir, dependiendo de cuánto sabe usted acerca de PA y de ZFC.
En PA, el axioma esquema de inducción puede ser dividido en un número infinito de conjuntos infinitos de los axiomas en cierta forma, el uso de la aritmética de la jerarquía; estos conjuntos de axiomas son generalmente llamados $\text{I-}\Sigma^0_0$, $\text{I-}\Sigma^0_1$, $\text{I-}\Sigma^0_2$ , $\ldots$. Para cada $k$, $\text{I-}\Sigma^0_k \subseteq \text{I-}\Sigma^0_{k+1}$. El resto de los no-inducción axiomas de la PA se denotan $\text{PA}^-$. Luego el teorema es que, para cada una de las $k$, hay un axioma en $\text{I-}\Sigma^0_{k+1}$ que no es demostrable a partir de $\text{PA}^- + \text{I-}\Sigma^0_k$. Esto es cierto para ambos común axiomatizations de PA.
En ZFC, por lo general es más interesante pedir que los axiomas hacer el seguimiento de los demás. El axioma del conjunto vacío (para los autores que lo incluyen) de la siguiente manera a partir de una instancia de el axioma esquema de la separación y el hecho de que $(\exists x)[x \in x \lor x \not \in x]$ es una fórmula en el lenguaje de ZFC que es lógicamente válido en primer pedido de la lógica, de modo ZFC trivialmente demuestra que al menos un conjunto existe.
En ZFC, hay algunas formas de el axioma esquema de separación que siga el resto de ZFC cuando formas particulares del axioma de reemplazo se utilizan. El axioma de emparejamiento es también redundante a partir de los otros axiomas en muchos presentación. Probablemente hay otras redundancias en ZFC así, dependiendo de la presentación.
Una razón por la que no podemos eliminar la redundancia axiomas de ZFC es que es común en la teoría de conjuntos para mirar los fragmentos de ZFC en el que el axioma de powerset, el axioma esquema de reemplazo, o ambos, son eliminados. Así axiomas que son redundantes cuando estos axiomas son incluido puede no ser redundante una vez que estos axiomas son eliminados.
JoshL
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Abraham Robinson. Sobre la independencia de los axiomas de la definición (Axiome der Bestimmtheit), Diario de la Lógica Simbólica, Volumen 4, Número 2 (1939), pp 69-72.
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