Pasas X personas e Y personas te pasan: ¿qué tan rápido eres?

Question

Esta pregunta se me ocurre cada vez que salgo a trotar. Me imagino que cada corredor probabilist en el mundo debe haber pensado en él (aunque yo no soy probabilist), pero yo no podía específicamente encontrar en línea. Espero que algunos MO los lectores encontrarán que vale la pena pensar. Aquí está la configuración básicas:

Suponga que todos los corredores a lo largo de un bucle de la longitud de la $L$ en la misma dirección. Suponga que las distancias $D_i$ ($i$ denota un individuo determinado) de la los corredores' son las pistas que yo.yo.d. con distribución $P_d$, los corredores' las velocidades de $S_i$ son yo.yo.d. con distribución $P_s$, el punto de partida de cada corredor es uniforme sobre el bucle y el inicio brechas entre los tiempos de arranque ha de distribución de $P_t$. Dado el ritmo, la distancia total de su ejecución y el # de veces que se pasado y que le pasa a otros, ¿qué se puede decir acerca de la $P_s$?

Específicamente, ¿qué se puede inferir acerca de donde el ritmo se encuentra respecto de la población de los corredores en el circuito? Estás en el top 5%? Estás por encima de la media? Etc.

Por supuesto, usted tendría que hacer suposiciones acerca de muchas de estas cosas, la fijación de $P_d$, por ejemplo. Y como un ejercicio de modelado hay varios interesantes elaboraciones, tales como el alquiler de las variables aleatorias $D_i$ e $S_i$ ser correlacionados.

Obviamente no hay una respuesta correcta, de ahí el 'suave' de la etiqueta. Pero me interesa saber si otros lo han pensado sobre ello, ¿cómo se puede establecer el problema y qué tipo de supuestos haría las conclusiones más interesantes. Como se tome $L$ más pequeños y más pequeños, de manera que las que tienen que lidiar con la posibilidad de chapoteo de las personas y llegar rodado, las cosas se vuelven más difíciles, y en diferentes formas, dependiendo de si estamos o no permitir el registro de conseguir aprobada por la misma persona. También podríamos dejar que la gente vaya alrededor de las agujas del reloj o en sentido antihorario con una cierta probabilidad.

Parece tan obvio que esta información da la información cualitativa acerca de su aptitud relativa, pero la cuantificación no es sencillo. Los datos está bien definido, la pregunta es bastante fácil de hacer, pero la parte de modelado deja un montón de flexibilidad. Estoy interesado en escuchar cómo la creatividad cerebros aquí en MO configurar el problema de interpretar la evidencia (o si hay un divertido papel en este tipo de problema en algún lugar).

Answer 1

Sabemos qué sucede si usted es más lento o más rápido. Si está muerto, entonces no tiene una razón (o si?) a esperar uno de los eventos que ocurren más a menudo que el otro. No complicar las cosas sin causa, me pregunto: ¿has descartado la (¿demasiado?) respuesta obvia de que si han pasado j de la gente y se pasa por k entonces la mejor estimación (ausencia de otra información) es que son más rápidos que los $\frac{j}{j+k}$ de los otros corredores y más lento de lo $\frac{k}{j+k}$. Con los supuestos sobre las distribuciones tal vez uno podría decir más.

En virtud de algunos de los supuestos podría inferir cosas por cuánto tiempo ha sido desde cualquier desapariciones sucedido, o por la rapidez de la frecuencia relativa converge, pero voy a asumir que correr con los ojos vendados y en algún momento se detuvo y dijo "en el curso de ejecutar pasa j y se pasaron por k.

Me pregunto si ayuda conceptualmente a renormalize en relación a su velocidad y decir que usted es un observador estacionario junto a una pista, la gente ha sido esparcidos sobre ella en posiciones al azar, algunos se van a la derecha y algunos de la izquierda según algunos de distribución que puede ser parcial en una dirección (y tal vez con distintas velocidades).Dado que se observa j va hacia la izquierda y k de las agujas del reloj...

Answer 2

Un modelo mucho más simplificado

Suponga que hay $k$ corredores cuya velocidad es independiente distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$, donde 1 significa un bucle por hora. Todos empiezan en el mismo lugar al mismo tiempo y de ejecución para $n$ horas. Sus velocidades son $p_1<\cdots < p_k.$ Si tengo la velocidad de $p_j$, a continuación, después de $n$ horas que se han pasado sobre $$(p_{j+1}+\cdots+p_k-(k-j)p_j)n$$ veces. Ahora $p_t$ es una beta$(t$,$k+1-t$) variable aleatoria por lo tanto $\mathbb E(p_t)= t / (k+1)$. Por lo tanto, la tasa esperada de la gente que pasa a mí por hora es $$ \left(\sum_{t=j+1}^k \frac{t}{k+1}\right) - \frac{(k-j)j}{k+1} $$ $$ = \frac{(k-j)(k+1-j)}{2(k+1)}. $$ Si puedo medir esta tasa como $\alpha$, sepan $k$, y asumir la $\alpha$ exactamente se da cuenta de que el valor esperado, entonces puedo resolver para $j$.

Si $\alpha=1$ e $k=9$ entonces $j=5$. Así que si 1 persona está pasando a mí por hora, puede estar en el medio de la manada. Si $\alpha=2$ e $k=13$,, a continuación,$j=6$, es decir, de ser aprobada por el 2 de 13 por hora, está ligeramente por debajo de la mediana.

Answer 3

He pensado que esta manejando en la autopista. Si n veces más que la gente pase lo que pase, ¿qué se puede decir acerca de su velocidad relativa a la media? Esto ignora los puntos de inicio (creo que BIEN). El número de automóviles que pasan que es la integral de la velocidad para la inf de (v-su v)*P(v), mientras que el número que se pasa es la integral de 0 a la velocidad de su (v-v)*P(v). Por lo que necesita para hacer algunas hipótesis de P(v).

Aún más importante, si n<1 ¿cuántas personas va más rápido que el de usted-si usted asume que sólo las personas en la parte superior de x% está en riesgo de un billete, ¿cuál es la relación entre n y x?

Answer 4

Mi primer comentario es acerca de ross-millikan respuesta:

no se puede decir nada acerca de su velocidad respecto a la media. Sólo se puede inferir información acerca de su velocidad relativa a la mediana o sobre el percentil. La media y la mediana sólo puede coincidir cuando la distribución es normal y la población incluye un elemento cuyo valor es exactamente igual a la media y es también la mediana.

Si $n$ la gente pasar, y pasar $n$ de la gente, usted puede decir que usted está en el medio $1/(2n+1)$ de los pack. Si $x$ la gente pasar, y pasar $y$ de la gente, se puede decir que su percentil es $100 (y)/(x+y)$. Puede ser más seguro acerca de su velocidad relativa con más conocimientos: pasando a más gente, o dejar que más gente pasar. O si no "más seguro", tiene más precisión en el conocimiento de sus velocidades relativas percentil como el número de observaciones aumenta.

• Si $(x+y)=0$, no tiene conocimiento de que su velocidad relativa en la población.

• Si $(x+y)=m$, entonces usted sabe que su percentil en la distribución de la velocidad a la más cercana de $(m+1)$-th partile, o más cercano a $1/(m+1)$ fracción. Si $m=4$, por lo que sólo se puede conocer su quintil (lo que sin duda es una palabra), ya que $m+1=5$.

Si usted no sabe la distribución subyacente de las velocidades de la población, no se puede deducir mucho acerca de su propia absoluto de la velocidad. Si no se aprueba o se pasan por muchas personas, usted no puede saber mucho acerca de su velocidad relativa.

Tengo que admitir que el uso de este cuando ejecuto para mantener el ritmo. Puedo obtener impulsó a correr más rápido si me pongo a conseguir aprobada por más gente de la que yo mismo estoy ejecutando pasado. Por supuesto, se pasa por un musculoso atlético jogger es más de un incentivo. Así que la adición de más factores sobre la capacidad atlética de cada individuo en relación a usted también podría decirle más. Pero si la única colección adquirida acerca de su velocidad relativa son los dos números enteros, a continuación, sólo su percentil en el desconocido distribución de la velocidad puede ser inferido.

En cuanto a Aarón Meyerowitz acerca de la estática observador, hay un problema con cambiar el marco de referencia del observador si usted no se toma en cuenta la velocidad absoluta en el marco de referencia de la tierra. Algunos corredores pueden en realidad estar ejecutando mirando en la otra dirección, y la conversión a la estática observador no tiene en cuenta que,

Ejemplo: usted está en un coche conduciendo hacia el oeste en una carretera. Usted puede deducir la velocidad de un rango o percentil relativa para el rumbo al oeste de vehículos por mantener un registro de cuántos oeste-obligado paso de los vehículos y cómo muchos de ellos se pasa. Si accidentalmente se incluyen el este de ruedas de vehículos en el otro lado de la carretera, se llega a la conclusión errónea de que vas muy rápido, de hecho, como que están "de paso" muchos de los vehículos orientados y atado en la parte oriental de la dirección.

Pero, cuando se cambia el marco de referencia para un observador estático en la pista, usted tiene que mirar en la dirección en que el corredor se enfrenta a fin de asegurarse de que sólo están contando los corredores se enfrentan a la misma dirección y en la misma dirección que usted.

Curiosamente, una vez vi a alguien caminando hacia atrás, en una acera, aunque no en el óvalo de la pista en el local de la escuela secundaria.

Answer 5

Creo que algunas de las otras respuestas han ignorado el hecho de que la diferencia en la velocidad afectará la forma en que a menudo se cruzan los otros corredores. Por lo tanto, usted puede contar cuántas veces usted adelanta o son superados, pero esto no es un estimador imparcial de su posición en los rankings. Ross-millikan respuesta tiene este derecho, creo que, aunque no puede ser otro factor de ponderación de la ocultación en P(v), como voy a explicar a continuación.

También, la presencia de un bucle (de modo que algunos de los corredores puede superar a la de los otros, varias veces durante un largo plazo) es una fuente de problemas para mí, así que voy a considerar la autopista.

En primer lugar, supongamos que tengo la velocidad U, y una corriente de otros corredores es (y siempre ha sido) de salir en velocidad v desde una posición muy por detrás de mí. Si el resto de corredores se apaga periódicamente con la frecuencia de n por unidad de tiempo, luego de su separación (v/n). Mi tasa de cruce de estos corredores es de abs(U-v)*(n/v).

OK, así que ahora en lugar de considerar n(v), una estadística de la distribución de frecuencia de los corredores de salir con una velocidad v. Así, Ross-millikan P(v) es el mismo que el de mi n(v)/v. (Seguimos hablando de la mediana o la media de la "distribución" de los corredores -- si esto iba a ser precisos, sería necesario especificar la ponderación de esta distribución. Se compara a sí mismo a todos los corredores actualmente en ejecución, o de todos los corredores que han corrido hoy, o qué? Rápido que los corredores podrían correr diferentes distancias o tiempos, así que hay varias opciones válidas y las respuestas generalmente será diferente. Mi n(v) es al menos bien definido, pero he esquivar varias preguntas, incluyendo la posibilidad de detenerse).

De todos modos, en mi mundo de una interminable fuente de interminables corredores, la tasa que puedo superar a otros es

$R_{overtaking}=\int_0^U ({U \over v}-1) n(v) dv$

La tasa de mí ser superado es

$R_{overtaken}=\int_U^{\infty} (1-{U \over v}) n(v) dv$

Puedo considerar la relación de estos, que se obtiene de la ronda de la cuestión de cómo muchos de los corredores que hay en total. Sin embargo, como Hugh J se ha señalado, esto no es suficiente. Por ejemplo, considere el caso donde realmente soy la mediana de corredor, ya que la mitad de los otros corredores de salir tiene velocidad v_lento y la mitad de la velocidad v_rápido, con v_lento<U<v_rápido. A pesar de que yo soy la mediana de corredor, la relación puede variar:

${{R_{overtaking}} / {R_{overtaken}}}={{(U-v_{slow})v_{fast}} / [{(v_{fast}-U)v_{slow}}}]$

Así, para obtener una verdadera indicación en, usted necesita para su peso frecuencias observadas por el recíproco de la velocidad de las diferencias. La buena noticia es que usted puede pagar muy poca atención a los jóvenes que zap pasado en un flash. Por el contrario, usted no debe dar a ti mismo demasiado crédito para adelantar a los caminantes con Zimmer marcos. Va a tomar un largo tiempo para obtener estadísticamente significativa de información acerca de los corredores de nivel similar a su propia, porque te encuentras con ellos con frecuencia.