¿Cuándo podemos cancelar paquetes de vectores de productos tensoriales?

Question

Deje que$E,F,G$ sean paquetes de vectores algebraicos sobre$\mathbb P_{\mathbb C}^n$. Mi pregunta general es:

Suponga que$E\otimes G \cong F\otimes G$, ¿bajo qué condiciones se puede concluir que$E\cong F$?

Algunas respuestas fáciles (si no me equivoco): uno puede cuando$n=1$ o cuando$G$ es un paquete de líneas. En este punto, estoy principalmente interesado en el caso en que$E$ es una suma directa de paquetes de líneas, pero cualquier comentario / referencia / soluciones / análogos sobre otros casos serían apreciados.

Answer 1

De acuerdo a este preprint, conectado a través de una adecuada variedad algebraica $X$ no es un universal reductora grupo $G$ tal que isomorfismo clases de vector de paquetes de rango $n$ están en bijection con clases de isomorfismo de $n$-representaciones tridimensionales de $G$. Además, el grupo de componentes es $\pi_1(X)$.

Por lo que la cancelación de la propiedad que usted busca sostiene por ningún simplemente conectado adecuada algebraicas variedad, ya sea porque tiene para las representaciones de cualquier conectados reductora grupo. Podemos ver esto por parte de los personajes - una representación está determinada únicamente por su carácter, y porque el grupo está conectado, no hay ningún cero divisores en el anillo de los personajes.

Esto ciertamente incluye a $\mathbb P^n$.

Answer 2

Parece que en el caso en que E y F son el resultado directo de las cantidades de la línea de paquetes (y G es no-cero!!!), se puede reconstruir E y F sabiendo que $E \otimes G \simeq F \otimes G$: esto simplemente imita la prueba de que el hecho de que el vector de paquetes en $\mathbb{P}^1$ son sumas de línea de paquetes. De hecho, desde la reconstrucción de la multa en el caso en que G es una línea de paquete, podemos reemplazar E y F por E(E) y F(e) para cualquier entero e: por lo tanto, el intercambio de si es necesario E y F, podemos suponer que E tiene una sección y E(-1),F(-1) no tienen secciones. Deje que g sea el número entero tal que G(g) tiene una sección y G(g-1) no. Así tenemos a $E \otimes G(g) \simeq F \otimes G(g)$; considerando global secciones, podemos deducir que la multiplicidad de el número de trivial directa sumandos en el Correo es el mismo que el de la multiplicidad de F. Retire las copias de $\mathcal{O}$ de ambos E y F y repetir.

Answer 3

La respuesta a tu pregunta es sí, si $F$ es una suma directa de línea de paquetes. Así, supongamos que y su rango es $m$. Y como has observado, vamos a suponer que estamos trabajando sobre $\mathbb{P}^2$. Deje $0\to F_0\to F_1\to E\to 0$ ser la resolución mínima de $E$ donde $F_i$ se suma directa de línea de paquetes con rango de $F_0=n$, de modo que el rango de $F_1=n+m$. Tensoring con $G$, obtenemos $0\to G\otimes F_0\to G\otimes F_1\to G\otimes F\to 0$, la última por la asunción. Tomando cohomologies, dejando $H_*^0(G)=M,H_*^1(G)=N$, obtenemos una secuencia exacta $N^n\to N^{n+m}\to N^m$, que para la longitud de consideraciones (longitud de $N$ es finito) es fácil de ver, para ser exactos en la izquierda (y la derecha). En particular, hemos surjectivity global de las secciones y por lo tanto una secuencia exacta $0\to M^n\to M^{n+m}\to M^m\to 0$. Este se divide (se me ha olvidado cuya teorema es, pero creo que Tengo leído recientemente en algún comentario por Graham Leuschke) que es imposible, ya que el primer mapa que tiene todas las entradas en la máxima ideal a menos $n=0$.

Answer 4

Bueno, de ninguna manera soy un geómetra algebraico y tal vez esto ni siquiera sea útil, pero de todos modos:

Si tiene un paquete$G^\perp$, de modo que$G \oplus G^\perp \simeq \underline{\mathbb{C}^n}$ es trivial y$E \otimes G^\perp$ es isomorfo a$F \otimes G^\perp$, entonces al menos obtiene$E^n \simeq F^n$, que es una especie de análogo a su comentario sobre los paquetes de líneas. Pero es mejor que deje de murmurar trivialidades ahora.