¿Cómo debería un teórico de los números aprender una cantidad modesta de geometría algebraica?

Question

Un poco vaga, pero espero que útil para toda la comunidad.

Yo soy, por su formación, una analítica de números teórico. He logrado aprender algo de la geometría algebraica, mediante la lectura de los partes de Silverman de la Aritmética de Curvas Elípticas, el principio de Ravi Vakil notas, y un poco muy poco de Hartshorne (y haciendo un mínimo algunos de los ejercicios).

Se ha hecho evidente para mí que sería muy útil para aprender más, el tema surge a menudo en la lectura, seminarios y discusiones con colegas, y además me parece de lo poco que sé de ser fascinante.

Lamentablemente no tengo el tiempo para, decir, leer Hartshorne (o EGA) y hacer todos los ejercicios. Dicho esto, ¿cómo MO lectores recomiendan que me vaya de conocer un poco de la geometría algebraica a una modesta más grande de bits de la geometría algebraica?

Mis objetivos, a grandes rasgos, son:

• Para tener una base más amplia en el tema, y entender las definiciones y los ejemplos mejor. (Naturalmente, estoy especialmente interesado en el lado del sujeto que se relaciona con la aritmética, y menos en el geométricos complejos lado.)
• Para estar mejor preparados para leer libros relacionados con algunos de mis intereses de investigación y los de mis colaboradores (Borel del Algebraicas Lineales Grupos, Mumford, Fogarty, y Kirwan del Geométricas Invariantes Teoría, etc.)
• Mejor saber dónde mirar si puedo ejecutar a través de un algebro-geométrico argumento en la literatura.
• Para disfrutar de mí mismo, especialmente desde que tengo la esperanza de convencer a los colegas y estudiantes de posgrado a unirse a mí.

Parece ser que hay varios libros que son adecuados para este, por ejemplo, Mumford del Libro Rojo, Eisenbud y Harris de la Geometría de los Esquemas, de Harris Geometría Algebraica: Un Primer Curso, y muchos otros. Vakil notas también son excelentes, pero quizás para alguien con ambiciones de aprender el tema más a fondo. Para la mayor parte, no estoy muy familiarizado con las virtudes y desventajas de estos libros.

Puede MO lectores recomendar una hoja de ruta para el aprendizaje de por lo menos un poco más acerca de este tema, incluso cuando me veo en la obligación de mantener la mayor parte de mi atención a otra parte?

Muchas gracias!

Answer 1

Yo no estoy aún un número teórico, pero cuando estaba en la escuela de posgrado tomé un curso de un semestre de Hartshorne, el uso de su libro. Sentí que lleva un mensaje poderoso, más abstracto y más general que lo que yo necesitaba para cualquier propósito, pero aún así muy interesante. Estamos sólo al principio del tercer capítulo, pero fue suficiente. De hecho, completamente sin darme cuenta, yo estaba tomando un montón de duro de los resultados de álgebra conmutativa en la fe en la tarea, pero de alguna manera estaba bien.

Así que me gustaría preguntar si Hartshorne es exactamente lo que usted quiere; se explica exactamente lo que usted dice es que falta de su experiencia. Usted no tiene y no debería leer página por página, lo que confirma cada afirmación. Usted puede aprender de este libro a través de la espiral método. No sé "Geometría de los Esquemas", aunque un libro con ese título y los autores también suena bien. Lo que puedo decir es que Hartshorne es especialmente entusiasta acerca de Grothendieck la perspectiva de la geometría algebraica. De nuevo, aunque yo no tenía ninguna carrera de la razón a la atención, terminé queriendo probar cosas Grothendieck estilo: el uso de esquemas, con el mismo argumento en el carácter 0 y característica positiva, con los esquemas propios como un reemplazo de las variedades proyectivas, etc.